217. Унитарная эквивалентность С-матриц.

В предыдущем параграфе мы имели две системы порождающие один и тот же оператор А. При этом числа были элементами матрицы, соответствующей унитарному преобразованию ортах Внутренняя сумма формулы (194) представляет собой скалярное произведение и, в силу уравнения замкнутости, мы можем утверждать, что квадрат модуля этой суммы образует сходящийся ряд при суммировании по s. Внутренняя сумма в выражении (195) получается из внутренней суммы выражения (194) переходом к сопряжённой величине, перестановкой s и t и заменой на , а потому и для неё справедливо сказанное выше при суммировании но t, т. е.

Это приводит нас естественно к следующему определению:

Определение. 1. Говорят, что унитарная матрица применима к С - матрице если выполнены условия если повторные суммы (194) и (195) приводят к одному и тому же результату. Полученная матрица называется преобразованной матрицей.

Из того факта, что матрица и унитарная матрица, следует, в силу неравенства Коши, абсолютная сходимость внутренних рядов

формул (194) и (195), а из условий (198) следует сходимость и внешних рядов. В силу сказанного выше о внутренних суммах, одно из условий (198) влечёт за собой второе условие. Из (194) и (195) непосредственно следует, что и, из условий (198) и унитарности матрицы следует, что сумма по к членов конечна, т. е. есть С-матрица. Докажем следующую теорему:

Теорема 1. Если унитарная матрица U применима к обратная матрица применима к и преобразованной матрицей будет

Докажем формулы

Достаточно доказать первую. Вторая доказывается аналогично. Мы имеем:

В силу (198), сумму, стоящую в круглых скобках, можно рассматривать как составляющую некоторого элемента из Обозначая через y унитарный оператор в осуществляемый матрицей можем записать правую часть последней формулы в виде:

откуда и следует непосредственно первая из формул (199). Из (199) непосредственно следует:

Действительно, обозначая имеем элемент из с составляющими и правая часть первой из формул (199) может быть записана в виде откуда и следует непосредственно первое из условий (201). Второе доказывается аналогично. Вводя ещё элемент из с составляющими можем записать первую из формул (199) в виде: откуда Умножая на и суммируя по k, получим:

т. е. одну из формул (196). Вторая доказывается аналогично; теорема доказана. Дадим теперь определение унитарной эквивалентности двух систем каждая из которых содержит некоторую полную систему ортов.

Определение 2. Две системы называются унитарно эквивалентными, если унитарная матрица U с элементами применима к и приводит к преобразованной матрице

Если выполнено сказанное в определении, то из доказанной теоремы следует, что унитарная матрица, обратная матрице U с элементами т. е. матрица с элементами применима к и приводит к преобразованной матрице т. е. унитарная эквивалентность двух систем есть свойство взаимное. Отметим ещё, что Основной в отношении эквивалентности систем является следующая теорема:

Теорема 2. Для того чтобы две системы были унитарно эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы порождаемые ими замкнутые симметричные операторы А и имели в качестве своих продолжений один и тот же симметричный оператор F.

Сначала доказываем необходимость. Пусть системы унитарно эквивалентны. Мы имеем:

и вторая из формул (199) показывает, что Это же равенство имеет, очевидно, место для конечных линейных комбинаций Принимая во внимание определение D(А) и и переходя к пределу в скалярном произведении, получим:

Если одновременно принадлежит D(А) и то, кроме и, в силу для любых у из и, поскольку плотен в имеем

Пусть линеал элементов представимых в виде где и положим . Если имеем два представления: где то из следует, что одновременно принадлежат D(А) и D(А) и, в силу сказанного выше, откуда следует, что определение однозначно. В силу (202) и симметричности А и есть симметричный оператор. Он является, очевидно, продолжением А и и необходимость доказана.

Положим теперь, что симметричный оператор F является продолжением А и Мы имеем:

т. e. мы получили первую из формул (199). Совершенно аналогично может быть, иолучена и вторая. Повторяя доказательство теоремы 1, мы увидим, что применимо к и имеют место формулы (194), (195) и (196); унитарная эквивалентность систем доказана.

Из теоремы следует, что унитарная эквивалентность систем вполне определяется порождёнными ими замкнутыми симметричными операторами, и естественно понятие унитарной эквивалентности перевести с систем на замкнутые симметричные операторы, порождённые этими системами. Отсюда непосредственно будет следовать, что ограниченный оператор унитарно эквивалентен только сам себе, а максимальный — только своей части. Унитарная эквивалентность есть свойство взаимное, но не транзитивное, т. е. если оператор унитарно эквивалентен унитарно эквивалентен то отсюда ещё не следует, что унитарно эквивалентен Это будет, очевидно, так, если максимальный оператор, ибо и в этом случае имеют общее продолжение Общая теория С-матриц существенно отличается от теории матриц, которым соответствуют ограниченные самосопряжённые операторы. Эта теория С-матриц изложена в работе J. Neumann’a, Zur Theorie der unbeschrankten Matrizen (Crelle, Journal, Bd. 161, 1929) и в книге Wintner’a, Spektraltheorie der unendlichen Matrizen (Leipzig, 1929).