183. Другие осуществления пространства H.

Можно указать, кроме и ряд других осуществлений пространства Гильберта, которые находят свое применение. Пусть — некоторое измеримое множество -мерного пространства и — пространство функций измеримых и с суммируемым квадратом на , причем за основу измерения взята лебегова мера или какая-либо другая нормальная функция множеств. В последнем случае мы будем иметь интеграл Лебега—Стилтьеса. Определим пространство следующим образом. Элементом является последовательность функций из , где . Элемент является нулевым, если каждая из функций эквивалентна нулю. Умножение элемента на число и сложение элементов определяются естественно формулами

и скалярное произведение формулой

где — элемент в случае интеграла Лебега или дифференциал нормальной функции множеств в случае интеграла Лебега — Стилтьеса. Легко проверить, что есть осуществление сепарабельного пространства Гильберта. Линейный оператор состоит из линейных операторов при помощи которых составляющие у выражаются через составляющие

Указанное осуществление пространства Гильберта является осуществлением абстрактного построения пространства Гильберта Н по заданным пространствам Гильберта Элементом пространства Н мы называем последовательность элементов где Элемент является нулевым, если все суть нулевые элементы в . Умножение на число и сложение элементов определяются формулами

и скалярное произведение формулой

Всякое пространство функций принадлежащих , где D — некоторая область -мерного пространства, и имеющих обобщенные производные до порядка также принадлежащие есть полное гильбертово пространство со скалярным произведением

где суммирование распространяется на все производные до порядка включительно. При этом предполагается, что область звездна относительно какой-либо своей точки, так что имеет место указанное в [111] свойство обобщенных производных.

Рассмотрим пространство Функции ему принадлежащие, имеют предельные значения на поверхности S области считается достаточно гладкой). Нетрудно проверить, что множество , удовлетворяющих предельному условию

будет полным гильбертовым пространством со скалярным произведением

Полным гильбертовым пространством будет также множество функций из со скалярным произведением (174) и без всякого предельного условия, если отождествить функции, разность которых эквивалентна постоянной, т. е. считать такие функции одним и тем же элементом пространства.