193. Непрерывные функции самосопряженного оператора.

Пусть ограниченная и равномерно непрерывная на промежутке функция (например, ) непрерывна в замкнутом промежутке Составим сумму, аналогичную (55),

где х — любой элемент Н. Нетрудно видеть, что этот ряд, состоящий из попарно ортогональных элементов, сходится при любом Действительно, по условию , где k — определенное число и

и, таким образом, ряд, аналогичный ряду (56), сходится. Совершенно так же, как в можно показать, что сумма (68), при всяком из Н, имеет определенный предел при . Этот предел дает дистрибутивный оператор определенный на всем Н. Из (69) непосредственно следует т. е. оператор есть ограниченный оператор. Естественно записать предел суммы (68) в виде интеграла Стилтьеса

Последний интеграл можно толковать как обычный интеграл Стилтьеса, определенный нами в

Совершенно аналогично формулам (62) и (66) имеем

И

Мы могли бы применить данное выше определение и к случаю любой ограниченной и непрерывной на промежутке функции, не требуя ее равномерной непрерывности. В дальнейшем мы укажем возможность распространения понятия функции самосопряженного оператора на широкий класс функций

Для оператора , где l — какое-либо число, мы имеем очевидные формулы