139. Операции над подпространствами.
Этот и следующий параграфы посвящены изложению операций над подпространствами и свойств операции проектирования. Это будет нам необходимо в дальнейшем при изложении теории самосопряженных операторов.
и из (152) следует 
и доказано, что 
- подпросгранство. Элемент 
при любом 
представим в виде
где 
. Но, поскольку 
входит в L, мы имеем 
и, переходя к сопряженным операторам 
откуда 
и формула (153) переписывается в виде
т. е.
причем сходимость ряда надо понимать в смысле сильной сходимости последовательности операторов.
Отметим, что если 
попарно ортогональные и нормированные элементы, то, считая, что каждый из них 
порождает одномерное подпространство 
элементов 
, где а — любое комплексное число, мы имеем ортогональную сумму этих подпространств, образованную элементами вида
где ряд, составляемый из чисел 
сходится, и проектор в подпространство L имеет вид
где 
Говорят, что подпространство М есть часть подпространства 
если все элементы М входят в L. При этом разностью подпространств 
называют множество элементов L, ортогональных М [122]. Если обозначить 
то 
и подпространства М и 
взаимно дополнительны по отношению к L [122].
Произведением подпространств 
называется множество элементов, общих 
Нетрудно показать, что это множество есть подпространство. Это определение произведения применимо и к любому конечному или бесконечному числу подпространств.
попарно ортогональные подпространства. Введем понятие об их сумме 
вида
. Из ортогональности 
следует, что 
и имеет место равенство
Рассмотрим теперь бесконечную сумму попарно ортогональных подпространств:
представимых в виде суммы сходящегося ряда
. Написанное равенство равносильно следующему
Если 
любой элемент 
при 
. Нетрудно видеть, что L — линеал. Покажем, что L — подпространство. Пусть 
при 
Надо доказать, что и 
Имеем очевидное неравенство
есть проекция 
в подпространство 
так 
и можем написать 
Пусть задано 
Фиксируем такое 
, что 
при всех достаточно больших 
ибо