58. Ортогональные системы функций.

В непосредственной связи с функциональным пространством находится теория ортогональных систем функций. Мы уже излагали эту теорию раньше [IV; 38, 80]. Сейчас дополним это изложение, вводя в него пойятие интеграла Лебега — Стилтьеса или Лебега. Мы будем сначала говорить о вещественных функциях.

Определение. Говорят, что функции

заданные на измеримом множестве конечной меры и принадлежащие образуют ортогональную и нормированную систему, если выполнены условия

Для любой функции из мы можем составить ее коэффициенты Фурье относительно системы (81):

и ее ряд Фурье

Относительно сходимости этого ряда мы ничего утверждать не можем, но мы можем образовать отрезки этого ряда:

Выражение

имеет наименьшее значение, если коэффициенты взять равными коэффициентам Фурье . При этом для выражения (86) получаем следующую простую формулу:

из которой вытекает неравенство Бесселя:

и сходимость ряда, стоящего в левой части этого неравенства. Если в формуле (88) имеет место знак , то полученная формула

называется уравнением замкнутости. В силу (87), уравнение замкнутости равносильно тому факту, что отрезки ряда Фурье стремятся в среднем к функции . Докажем теперь следующую основную теорему.

Теорема 1 (Рисса - Фишера). Если любая заданная последовательность вещественных чисел, квадраты которых образуют сходящийся ряд

то существует единственная функция из для которой числа суть ее коэффициенты Фурье относительно системы (81) и для которой имеет место формула замкнутости (89).

Образуем функции

В силу ортогональности и нормированности системы (81) имеем

и из сходимости ряда (90) вытекает, что правая часть написанной формулы стремится к нулю при беспредельном возрастании , т. е. последовательность функций (91) из сходится в себе. Следовательно, существует такая функция из , к которой сходятся в среднем:

Покажем, что суть коэффициенты Фурье этой функции. Принимая во внимание (83), а также ортогональность и нормированность системы (81), можем написать

В правой части разность, стоящая в квадратных скобках, неотрицательна в силу неравенства Бесселя. Остальные слагаемые правой части также неотрицательны. При левая часть стремится к нулю и, следовательно, то же можно утверждать и о правой части. Отсюда непосредственно следует, что каждое из неотрицательных слагаемых равно нулю, т. е. что мы и хотели доказать. Таким образом, функции (91) суть отрезки ряда Фурье

функции и из (92) непосредственно следует, что для имеет место формула замкнутости. Остается доказать, что функция с указанными выше свойствами единственна. Если кроме существует еще функция с указанными свойствами, то (91) суть отрезки ряда Фурье как так и для По условию, уравнение замкнутости имеет место как так и для т. е. последовательность стремится в среднем как к так и к . В силу единственности предела в отсюда следует, что эквивалентны, т. е. представляют собой один и тот же элемент и теорема полностью доказана. Введем теперь определение замкнутости систем.

Определение. Ортогональная и нормированная система (81) называется замкнутой, если для любой функции из 12 имеет место уравнение замкнутости (89).

При доказательстве теоремы 1 мы не предполагали, что система (81) замкнута. Если это имеет место, то не надо оговаривать, что для функции имеет место уравнение замкнутости, так как по определению замкнутых систем это имеет место для любой функции из Поэтому для замкнутых систем теорема 1 формулируется так:

Теорема Г. Если система (81) замкнута и любая заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд (90) сходится, то существует единственная функция из 12, для которой числа суть ее коэффициенты Фурье.

Кроме понятия замкнутости системы, вводят еще понятие полноты системы.

Определение. Система (81) называется полной, если в 12 не существует функции, отличной от нуля (т. е. не эквивалентной нулю) и ортогональной ко всем

Мы покажем сейчас, что понятия полноты и замкнутости эквивалентны.

Теорема 2. Для того чтобы система (81) была полной, необходимо и достаточно, чтобы она была замкнутой.

Доказываем необходимость от обратного. Дано, что система (81) полная и положим, что она не замкнута, т. е. существует такая функция из с коэффициентами Фурье что

С другой стороны, согласно теореме 1, существует функция из с теми же коэффициентами Фурье для которой имеет место формула замкнутости (89). Сравнивая эту формулу с (94), получаем

Но разность имеет все коэффициенты Фурье равные нулю, т. е. она ортогональна ко всем и, в силу полноты,

упомянутая разность эквивалентна нулю, т. е. эквивалентны, а это противоречит (95), и таким образом необходимость доказана. Доказываем достаточность. Дано, что система замкнута, и надо доказать ее полноту, т. е. надо доказать, что если все коэффициенты Фурье некоторой функции равны нулю, то эта функция эквивалентна нулю. Поскольку предполагается замкнутость системы, мы можем для функции написать уравнение замкнутости (89), которое, в силу равенства нулю всех коэффициентов Фурье функции даст нам

откуда и следует, в силу свойства 8 из [51], что эквивалентна нулю. Отметим, что для любой системы функций из применим процесс ортогонализации, который мы описали раньше [IV; 38].

Все сказанное выше непосредственно обобщается и на случай комплексных функций из . Свойства ортогональности и нормированности системы (81) выражаются при этом равенствами:

а коэффициенты Фурье определяются формулами:

В дальнейших формулах мы везде вместо квадратов функций и чисел должны писать квадраты модулей. Так, например, уравнение замкнутости будет иметь вид

Указанные выше теоремы сохраняются, но только вместо ряда (90) мы должны рассматривать ряд из чисел

Приведем еще так называемое обобщенное уравнение замкнутости. Пусть коэффициенты Фурье функций и система (81) замкнута. Функция имеет коэффициенты Фурье и функция коэффициенты Уравнения замкнутости для них имеют вид

или

Принимая во внимание уравнения замкнутости для умножая второе равенство почленно на i и складывая с первым, мы и получим обобщенное уравнение замкнутости

В случае вещественных функций обобщенное уравнение замкнутости имеет вид

Из обобщенного уравнения замкнутости непосредственно следует возможность почленного интегрирования ряда Фурье любой функции из по множеству или любой его измеримой части именно, если коэффициенты Фурье то

Укажем еще одно свойство пространства , из которого следует существование в замкнутой ортогональной нормированной системы. Это свойство называется обычно сепарабельностью и оно состоит в следующем: существует счетное множество элементов плотное в ,

т. е. такое, что для любого из и любого заданного положительного существует такой элемент из указанного счетного множества, что одном из следующих параграфов мы докажем сепарабельность ,. Сейчас мы докажем, что из сепарабельности вытекает существование замкнутой ортогональной нормированной, системы. Применяя к процесс ортогонализации, [IV; 3], получим некоторую ортогональную нормированную систему . Докажем,

что она замкнута. В силу сказанного выше для любого из и любого заданного положительного существует такое что . Но есть, согласно процессу ортогонализации, некоторая конечная линейная комбинация функций таким образом,

Если мы заменим коэффициентами Фурье относительно системы то неравенство тем более сохранится

где отрезок ряда Фурье функции . Из этого неравенства, в силу произвольности , и следует замкнутость системы (Я).

Отметим еще, что в том случае, когда соответствуют сосредоточенные массы, помещенные в точках то замкнутая система содержит лишь элементов, и этот случай не представляет интереса. Он приводит, как мы уже отмечали, к конечно-мерному пространству