149. Общий случай непрерывного спектра.

Мы видели, что если элемент у принадлежит подпространству построенному в [147], то и приводит А. Если оператор А не имеет точечного спектра, т. е. его спектральная функция непрерывна при всех значениях X, и его непрерывный спектр не является простым, то, как мы покажем, пространство Я можно представить в виде ортогональной суммы подпространств типа . В каждом из этих подпространств индуцированный оператором А оператор будет иметь простой непрерывный спектр, и для элементов, принадлежащих такому подпространству, мы будем иметь формулы, выведенные в [147]. Соответственные формулы для любых элементов из Н будут получаться при помощи разложения элемента по упомянутым выше подпространствам, и, в силу (266), эти формулы будут получаться путем сложения соответствующих формул для отдельных подпространств. Приведем упомянутое представление , в виде ортогональной суммы подпространств типа СХУ считая пространство Я сепарабельным. Возьмем какую-нибудь замкнутую ортогональную нормированную систему

Положив построим . Элемент мы можем представить в виде где . Если то строим Покажем, что По условию, при любом X мы имеем ибо Получим далее: Отсюда следует, что любая линейная комбинация элементов ортогональна любой линейной комбинации и в пределе любой элемент из ортогонален любому элементу из Далее берем элемент и представляем его в виде

где и строим Как и выше, доказываем, что и т. д. Таким образом, мы получим конечное или счетное число попарно ортогональных подпространств и поскольку каждый элемент из Н разлагается по элементам которые образуют замкнутую систему, то тем самым ортогональная сумма подпространств дает все Н:

В каждом из подпространств мы будем иметь формулы, указанные в [1471, и таким образом для любых элементов у и z из Н можем написать

где , и написанные суммы могут быть как конечными, так и бесконечными. В последнем случае для формул (272) и (273), содержащих элементы сходимость ряда надо понимать как сходимость элементов Н.

Указанный выше прием построения подпространств можно записать в виде формул, которые мы сейчас укажем. Если v — любой элемент то его проекция в Суку определяется соответствующим слагаемым первой из формул (272), т. е.

и для получаем, принимая, как всегда, во внимание (180),

Из этого замечания непосредственно вытекают следующие формулы, которые соответствуют указанному выше процессу построения подпространств

При различном выборе исходной системы и подпространства Сук получаются, вообще говоря, различными. Может случиться, что и число этих подпространств окажется различным. Целесообразно с самого начала по возможности расширять эти подпространства.

Можно показать, что возможно такое построение , при котором выполнено следующее условие: всякое множество меры нуль по отношению будет множеством меры нуль и по отношению к Это условие, в силу результатов из [74], равносильно следующему: всякое выражается через предыдущие формулой

где интеграл надо понимать в смысле Лебега—Стилтьеса, и неотрицательные функции, измеримые по отношению и суммируемые. При соблюдении этого условия будем говорить, что разбиение спектральной функции нормально. Можно доказать, что в различных нормальных разбиениях число подпространств одно и то же. Мы еще вернемся к этому вопросу.