11. Предельный переход в интеграле Стилтьеса.

Мы укажем в этом и следующих параграфах некоторые теоремы, касающиеся предельного перехода под знаком интеграла Стилтьеса. Одну из таких теорем мы имели и раньше. Она касалась того случая, когда интегрируемые функции равномерно стремились к предельной функции Пусть непрерывны на промежутке равномерно на функция ограниченной вариации на На основании [4] и формулы (55) имеем

Укажем на некоторые простые обобщения этого утверждения, причем ограничимся рассмотрением бесконечного промежутка.

Теорема 1. Пусть непрерывны внутри и ограничены одним и тем же числом не зависящим от равномерно в любом конечном промежутке и функция ограниченной вариации на промежутке непрерывная на концах этого промежутка. При этом для промежутка имеет место формула (63).

Функция непрерывна внутри и ограничена, а потому интегрируема по . Принимая во внимание, что а потому и ее полная вариация непрерывны на концах промежутка, и что мы можем утверждать, принимая во внимание (56), что для любого заданного положительного существует такое положительное число А, что при любом ,

В промежутке предельный переход имеет место равномерно, а потому, в силу упомянутой выше теоремы, мы имеем для всех достаточно больших :

и, следовательно,

откуда, в виду произвольности , следует утверждение теоремы. Докажем теперь аналогичную теорему для того случая, когда функции неограничены в промежутке и интеграл по этому промежутку приходится понимать как несобственный интеграл.

Теорема 2. Пусть непрерывны внутри несобственные интегралы

существуют равномерно относительно равномерно во всяком конечном промежутке есть функция ограниченной вариации в любом конечном промежутке. При этом интеграл от по (несобственный) на промежутке существует, и имеет место формула (63).

Функция непрерывна в любом конечном промежутке и интегрируема на таком промежутке по Докажем, что она интегрируема по бесконечному промежутку. Пусть — заданное положительное число. В силу того, что интегралы (64) сходятся равномерно относительно , существует такое положительное А, что для любого промежутка лежащего вне и любого значка , имеем

Фиксируем каким-нибудь образом так, чтобы промежуток лежал вне При этом, в силу равномерной сходимости на промежутке мы будем иметь для всех достаточно больших значений :

Принимая во внимание очевидное равенство

получим на основании (65) и (66):

откуда и следует, что интеграл от по на промежутке существует. Для доказательства формулы (63) достаточно заметить, что интеграл от разности будет достаточно малым по абсолютной величине на достаточно далеких промежутках, а на конечных промежутках он будет малым при всех достаточно больших значениях в силу равномерной сходимости

Заметим, что в случае конечного промежутка для справедливости формулы (63) нет необходимости в равномерном стремлении . Достаточно потребовать, чтобы непрерывные функции стремились к непрерывной функции оставаясь ограниченными, независимо от значка , т. е. должно существовать такое положительное число что при всяком и всех из имеется неравенство . Это утверждение будет нами доказано позже [50].