37. Критерии измеримости.

Можно давать различные определения измеримых множеств, которые будут равносильны данному выше определению. Укажем некоторые из этих определений, причем сначала мы будем рассматривать лишь ограниченные множества.

Теорема Для того чтобы ограниченное множество g входило в семейство необходимо и достаточно следующее: для любого заданного положительного в существует такая элементарная фигура R, что

причем для множеств имеют место неравенства

Доказываем необходимость. Пусть g входит в . При этом существует такое открытое множество О, что Обозначая будем иметь . Для i справедливо неравенство (47). С другой стороны, в силу теоремы 6 из [32], есть предел возрастающей последовательности элементарных фигур причем есть сумма первых слагаемых правой части формулы (21). В силу теоремы 15 мы имеем и,

следовательно, можем взять настолько большое значение что, полагая будем иметь где Сравнивая оба полученных для О выражения, мы и приходим к формуле (46), причем для выполнены неравенства (47). Доказываем достаточность. Пусть для любого заданного имеют место формула (46) и неравенства (47). В силу измеримости R существует такое открытое множество что С другой стороны, в силу теоремы 4 [341, существует такое открытое множество , что или, в силу (47), мы будем иметь Открытое множество покрывает и мы имеем или, в силу (6) из [30]:

Принимая во внимание, что и (47), получаем отсюда что дает, в силу произвольности в, измеримость .

Теорема 2. Для того чтобы ограниченное множество g принадлежало необходимо и достаточно следующее: для любого заданного положительного существует такая элементарная фигура R, что

Доказываем необходимость. принадлежит Существует такая элементарная фигура R, что мы имеем (46) и (47). Неравенства (48) вытекают из очевидных соотношений . Доказываем достаточность. Пусть для любого заданного существует для которой выполняются неравенства (48). Если положить то получим причем удовлетворяют неравенствам (47), и измеримость g вытекает непосредственно из теоремы 1.

Теорема 3. Для того чтобы множество g (которое может быть и неограниченным) принадлежало необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного в существовало такое открытое множество О и такое замкнутое множество F, что

Если g измеримо, то, в силу определения и теоремы 11 [35] существуют такие F и О, что .

Далее имеем откуда и следует (49). Наоборот, пусть имеем (49). При этом и подавно следовательно, g измеримо согласно определению.

Приведем без доказательства еще один критерий измеримости. Для измеримости g необходимо и достаточно, чтобы при любом выборе множества имела место формула