52. Функция любого знака.

Пусть на измеримом множестве g конечной меры задана измеримая вещественная функция которая может принимать значения обоих знаков. Введем так называемые положительную и отрицательную части функции :

Иначе это определение можем написать в виде

Для функции имеем представление в виде разности двух неотрицательных функций:

Определение. Функция называется суммируемой на g, если суммируемы на g. При этом величина интеграла от функции определяется формулой

Отметим, что если только одна из функций или суммируема, то последняя формула дает для интеграла от определенное, но бесконечное значение. Например, если суммируема, а нет, то интеграл от равен

Теорема. Для того чтобы была на g, необходимо и достаточно, чтобы неотрицательная функция была суммируема на

Если суммируема, то суммируемы а следовательно, суммируема и их сумма Наоборот, если суммируема сумма то, в силу свойства 9 из [51], суммируемо каждое слагаемое, а потому и функция также суммируема. Отметим, что и для ограниченной функции мы можем произвести разбиение на положительную и отрицательную части и для интеграла будет также иметь место формула (47). В дальнейшем термином „суммируемая функция" мы будем часто пользоваться и для ограниченной измеримой функции. Перейдем теперь к указанию основных свойств интеграла от суммируемой функции любого знака. Эти свойства вытекают почти непосредственно из аналогичных свойств интеграла от неотрицательных функций

Если — суммируемые функции, то и их линейная комбинация с постоянными коэффициентами есть суммируемая функция, и имеет место формула (13).

Суммируемость линейной комбинации непосредственно следует из неравенства

доказанной выше теоремы и свойства 1 из [51]. Для доказательства формулы (13) рассмотрим отдельно случай умножения функции на постоянную и случай сложения двух функций. Пусть суммируема и с — постоянная. Надо доказать формулу

Для определенности будем считать с отрицательной. При этом мы имеем . Определение (47) дает нам

и формула доказана. Положим теперь, что и суммируемые функции. Нам надо доказать формулу

Разложим функции на положительную и отрицательную части

Мы имеем

Все написанные функции неотрицательны и суммируемы. Применяя свойство 1 из [51], получим

откуда

что и доказывает формулу (48).

2. Если суммируемы то имеет место формула (15).

По свойству 1, неотрицательная функция суммируема и интеграл от нее (он неотрицателен) равен разности интегралов от что и приводит к (15).

3. Если суммируема, то имеет место формула (16).

Неравенство (16) равносильно следующему очевидному неравенству:

4. Если суммируема на g, то она суммируема и на любой измеримой части g множества

5. Если суммируема и множество g разбито на конечное или счетное число измеримых множеств g, то имеет место формула (20).

Последние два свойства следуют из того, что эти свойства имеют место для

6. Если g разбито на конечное или счетное число измеримых множеств g, функция суммируема на каждом и ряд

сходится, то суммируема на g и имеет место формула (20).

Неотрицательная функция суммируема на всех g, и из сходимости ряда (49) следует, в силу свойства 4 из [51], что суммируема на g, а следовательно, и суммируема на g. После этого формула (20) следует из предыдущего свойства. Отметим, что сходимости ряда (43) недостаточно для утверждения о суммируемости .

7. Если суммируема на g, то при любом заданном существует такое , что

Это свойство непосредственно следует из того, что оно имеет место для

Таким образом, мы доказали полную аддитивность и абсолютную непрерывность для интеграла от любой суммируемой функции.

8. Если g есть множество меры нуль, то интеграл от любой функции по g равен нулю.

9. Интегралы эквивалентных на g функций равны.

Оба свойства приводятся к аналогичным свойствам для и при этом надо отметить, что если две функции эквивалентны, то их положительные и отрицательные части также эквивалентны.

10. Если измерима на измерима, неотрицательна и суммируема на g и то суммируема, и имеет место формула

В силу свойства 9 из [51] можно утверждать, что суммируема, а, следовательно, и суммируема. Неравенство (50) непосредственно вытекает из свойства 3 и свойства 9 из [51]. Из доказанного непосредственно следует, что произведение суммируемой функции на ограниченную измеримую функцию есть также суммируемая функция.

Отметим еще два свойства интеграла, которые нам понадобятся в дальнейшем.

11. Если суммируема на конечном промежутке и интеграл от нее по любому промежутку А, принадлежащему равен нулю, то эквивалентна нулю на

Доказываем от обратного. Если не эквивалентна нулю, то существует такое положительное число а, что одно из множеств или имеет меру больше нуля. Пусть это будет первое множество, и обозначим его через g. Мы имеем

Но существуют такие множества со сколь угодно малой мерой, что где R — элементарная фигура, т. е. конечная сумма промежутков попарно без общих точек. По условию интеграл от по R должен равняться нулю, и можем написать

В силу абсолютной непрерывности интеграла, правая часть может быть сделана сколь угодно малой по абсолютной величине, а слева стоит определенное положительное число. Мы пришли к нелепости, и высказанное выше утверждение доказано.

12. Если суммируема на g и удовлетворяет условию

при любом выборе измеримой и ограниченной на g, то эквивалентна нулю. Если условие (51) выполняется при любом выборе измеримой и ограниченной на g и такой, что

то эквивалентна постоянной,

Пусть — та часть , где Выбираем за функцию, равную единице на и нулю на . Условие (51) покажет нам, что интеграл от по равен нулю, и отсюда, в силу свойства 8 из [52], следует, что эквивалентна нулю. Аналогично доказывается, что эквивалентна нулю, а потому и эквивалентна нулю.

Перейдем к доказательству второй части утверждения. Обозначим через величину интеграла от по . В силу (52) функция также удовлетворяет условию (51), т. е.

Кроме того, в силу определения k, при любом выборе постоянной с имеем

Пусть любая измеримая ограниченная на функция, и величина интеграла от нее. Функция с удовлетворяет условию (52), и мы имеем

или, в силу (53):

откуда следует, в силу доказанного выше, что эквивалентна нулю, т. е. эквивалентна

В заключение настоящего параграфа рассмотрим интегралы Лебега — Стилтьеса от одного переменного. Пусть неубывающая функция, которая лежит в основе измерения, и измерима относительно и суммируема на измеримом множестве оси X или на промежутке или на промежутке и т. д. Соответствующие интегралы пишут в виде

Если то получаем интеграл Лебега. В этом случае мера любой точки равна нулю, и неважно, причисляются или нет к промежутку его концы, и интеграл по промежутку обычно обозначается в виде

При этом мы считаем . Кроме того, принимают следующее соглашение: