61. Примеры замкнутых систем.
Приведем некоторые простые примеры ортогональных нормированных систем, замкнутых на конечном промежутке 
. Если мы применим процесс ортогонализации к целым неотрицательным степеням 
то получим систему ортогональных полиномов 
на промежутке 
причем 
имеет степень k. Всякий полином 
степени 
может быть представлен в виде линейной комбинации
Чтобы убедиться в этом, достаточно определить 
так, чтобы в правой части коэффициент при 
был таким же, что и 
. Затем надо определить 
так, чтобы коэффициент при 
у члена 
был таким же, что и 
и т. д. Коэффициенты 
в формуле (114) равны, очевидно, коэффициентам Фурье 
относительно 
Из точного равенства (114) следует, что в случае ортогональной системы 
уравнение замкнутости справедливо для любого полинома 
, а отсюда следует, в силу теоремы 2 предыдущего параграфа, что система ортогональных полиномов замкнута. Выше мы видели, что на промежутке 
для ортогональной системы
уравнение замкнутости выполнено для любой непрерывной функции III; 148], откуда следует, что система (115) замкнута в 
. Точно так же на промежутке 
замкнутыми будут ортогональные системы функций
Раньше мы видели [IV; 99], что в случае собственных функций 
предельной задачи всякая функция с непрерывными производными до второго порядка и удовлетворяющая предельным условиям разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье
по функциям 
Тем более для таких функций будет иметь место уравнение замкнутости. Изменяя значения функции на узеньких промежутках вблизи концов интервала, мы убедимся без труда в том, что уравнения замкнутости соблюдаются для всех функций с непрерывными производными до второго порядка, без требования удовлетворения предельных условий на концах. Тем более уравнение замкнутости удовлетворяется для всех по линомов, а потому система собственных функций 
замкнута.
Черт. 3
