50. Интеграл от неограниченной неотрицательной функции.

Определим теперь интеграл для того случая, когда есть неограниченная и неот рицательная измеримая функция

на измеримом множестве g конечной меры. В данном случае будем разбивать g не только на конечное, но и на счетное число измеримых подмножеств g. В остальном построение интеграла будет совершенно таким же, что и для случая ограниченной функции. Пусть имеется некоторое разбиение :

Строим соответствующие ему суммы и :

В данном случае будем иметь бесконечные ряды с неотрицательными слагаемыми, и некоторые из чисел могут равняться . Если для какого-либо слагаемого , то соответствующее слагаемое мы считаем равным нулю и в том случае, когда первый множитель или равен Суммы рядов (30) не зависят от порядка слагаемых [I; 134]. Отметим еще, что если взять конечное разбиение , то в сумме по крайней одно из чисел будет равно в силу неограниченности Суммы и могут принимать и бесконечные значения. Они имеют те же свойства, что и конечные суммы которыми мы пользовались раньше. Пусть, как и раньше, i — точная верхняя граница точная нижняя граница числа могут равняться и Мы покажем, как и для случая ограниченной функции, что Разбиваем множество g на части следующим образом: выделяем из него сперва то множество на котором если такое множество есть, а оставшееся множество разбиваем на множества следующим образом: подразделяем промежуток на части множества

Мы имеем очевидно

и, тем более,

Если то, очевидно, Положим теперь, что При этом неравенства (32) и (33) перепишутся в виде

Будем предполагать, что разбиение промежутка таково, что разности ограничены. Пусть их точная верхняя граница. Принимая во внимание, что можем написать

Отсюда непосредственно следует, что если при некотором разбиении с конечным сумма, стоящая в правой, части (34), равна тогда то же можно утверждать и относительно суммы, стоящей в левой части (34). При этом, в силу Наоборот, если то, в силу (34, сумма, стоящая в левой части (35), равна при любом разбиении с конечным , а потому и сумма, стоящая в правой части (35), также равна и, в силу Отсюда, в силу (34), следует, что если при некотором разбиении с конечным сумма равна то и равна и при этом и равны для любого разбиения с конечным . В этих случаях . В случае конечности сумм мы имеем, как и в [49]:

и при написанная разность стремится к нулю, откуда и следует . При этом обе суммы Лебега (34), а также суммы при стремятся к величине интеграла. То же можно утверждать и относительно суммы

при любом выборе из g. В случае и сумма (36) равна, очевидно, . Если стремятся к величине интеграла (случай конечного интеграла) и тогда то же можно утверждать и относительно сумм .

Основная теорема из [49] без изменения переносится на случай неограниченных неотрицательных и измеримых функций. Особо важным является тот случай, когда величина интеграла конечна. В этом случае функция называется суммируемой на множестве g. Из сказанного выше непосредственно вытекает, что для суммируемости функции необходимо, чтобы множество было множеством меры нуль.

Укажем другое определение интеграла от неограниченной неотрицательной и измеримой функции, которое равносильно данному выше определению. Обозначим через ограниченную неотрицательную функцию, определенную следующим образом:

Измеримость этой функции непосредственно следует из формулы при при где А — пустое множество. Составим интегралы

При возрастании N они возрастают и предел этой монотонной переменной (конечный или бесконечный) при мы и назовем интегралом от Покажем, что это новое определение интеграла равносильно прежнему. Положим сначала, что множество на коъором имеет меру нуль. Величина интеграла (38) равна верхней, границе сумм для функции Эти суммы не превосходят соответствующих сумм и потому Нам надо доказать, что монотонная переменная при имеет предел L Доказываем от обратного. Пусть (тем самым конечно). Мы можем взять такую сумму для что Удержим в этой сумме конечное число слагаемых таким образом, чтобы и для полученной конечной суммы мы имели бы

сумма конечна, и суммирование распространяется на оставленные слагаемые, что указано штрихом у знака суммы. Если , то во всех точках а потому ибо по условию . Соответствующее слагаемое написанной суммы считается, как мы указывали выше, равным нулю, и мы можем его не писать. Таким образом, можно считать, что во

всех слагаемых суммы все числа конечны. Составим аналогичную сумму для

Если число N больше всех чисел входящих в сумму (этих чисел — конечное число), то . Тем более полная сумма для будет , а следовательно, и , а это противоречит тому, что возрастая, стремится к Таким образом, и при втором определении интеграла величина интеграла оказывается той же, что и при первом определении.

Если , то при первом определении величина интеграла равна . Покажем, что то же будет и при втором определении. Принимая во внимание неотрицательность функции имеем

ибо согласно определению во всех точках . Из неравенства непосредственно следует при что и требовалось доказать.