197. Функции самосопряженного оператора.

Если -спектральная функция самосопряженного оператора A и ограниченная функция в промежутке измеримая по отношению ко всем неубывающим функциям то совершенно так же, как и в [155], формула

определяет ограниченный, заданный во всем Н оператор обладающей всеми указанными в [155] свойствами. Отметим, что значения на множестве меры нуль по отношению ко всем не влияют на интеграл (85) и тем самым на . Обобщим теперь понятие функции оператора на вещественные функции с конечными значениями и измеримые по-прежнему по отношению ко всем но неограниченные. Обозначим через урезанную функцию, т. е. функцию, определенную равенствами если если если . Для ограниченной функции мы можем образовать ограниченный оператор При этом, в силу формулы (302) из [155], при мы имеем

Если принадлежит по отношению почти везде по отношению

правая часть стремится к нулю при N и , т. е. последовательность сходится в себе, и имеется предельный элемент, который мы обозначим через при если

Множество элементов удовлетворяющих этому условию, естественно обозначить через Укажем относящиеся сюда результаты, не приводя их доказательств.

Аинеал повсюду плотен в есть самосопряженный оператор, и имеет место формула

Для комплексных функций мы принимаем и линеал по-прежнему определяется условием (87) с заменой на . Так же, как и в [156], имеет место следующее утверждение: для того чтобы оператор был функцией самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был замкнут и коммутировал с любым ограниченным оператором, коммутирующим с А.

Перейдем к вопросу о коммутировании общих самосопряженных операторов. Вспоминая теорему из [156], мы естественно приходим к следующему определению: говорят, что два самосопряженных оператора А и В коммутируют, если их спектральные функции (ограниченные операторы) коммутируют при любых X и . В силу упомянутой теоремы это определение равносильно обычному, если А и В — ограниченные операторы. Если А — неограниченный и В — ограниченный операторы, то мы имели определение коммутирования в [191]. Нетрудно видеть, что и оно совпадает с только что данным, если А и В — самосопряженные операторы. Действительно, в силу теоремы из [191], коммутирование в прежнем смысле равносильно тому, что В коммутирует с при любом X, а этот факт равносилен тому [143], что Д при любом коммутирует со всеми т. е. мы приходим к новому определению коммутирования.

Исходя из нового определения коммутирования самосопряженных операторов, можно показать, что вещественные функции одного и того же самосопряженного оператора А коммутируют и что если самосопряженные операторы попарно коммутируют, то все они являются функциями одного и того же оператора А (ср. [156]).

Рассмотрим понятие суммы и произведения для неограниченных операторов. Оператор определен для элементов одновременно принадлежащих Оператор определен для таких что Если а — любое комплексное число, то оператор определен на Пусть А и В — самосопряженные коммутирующие операторы, причем В — ограниченный, определенный на всем H оператор. При этом оператор определен на линеале V таких что . Согласно определению коммутирования, если то и входит в Г, но линеал V может быть и шире Покажем, что АВ — самосопряженный на Г оператор. Пусть при и тем более при Нам надо показать, что и что Считая, что можем заменить указанное равенство таким: при или, в силу того, что В — ограниченный самосопряженный оператор: при отсюда, в силу самосопряженности А, следует, что что и требовалось доказать. Отметим, что если А и В — неограниченные коммутирующие самосопряженные операторы, то оператор АВ может оказаться несамосопряженным, но сопряженный с ним оператор (АВ) всегда самосопряженный.

Применим определение суммы и произведения к степеням оператора А. Аинеал состоит из таких что входит в и может быть уже Точно так же состоит из таких что и, следовательно, входит в Полином вида определен, очевидно, на линеале Можно показать, что этот полином совпадает с определенной выше функцией оператора А, если принять множество элементов, на которых определены все полиномы, есть линеал, плотный в Н.

Если самосопряженный оператор А — положителен, т. е. нижняя граница спектра то можно, как и в [143], образовать положительный самосопряженный оператор квадрат которого равен А

Нетрудно видеть, что существует только один положительный самосопряженный оператор В, квадрат которого равен А. Действительно, пусть разложение единицы для В. Мы должны иметь

или

Семейство операторов зависящее от параметра X, представляет собой разложение единицы, и, в силу единственности спектральной функции Откуда и следует, что оператор Одолжен совпадать с .