133. Вполне непрерывные операторы.

Мы имели определение вполне непрерывного оператора для пространства типа В и тем самым для . Вполне непрерывный оператор в такой линейный оператор, который преобразует всякое ограниченное в множество в компактное.

Мы знаем, что всякий линейный оператор преобразует компактное множество в компактное. Отметим, что оператор тождественного преобразования не вполне непрерывен. Он преобразует сферу (ограниченное множество) биоднозначно в себя, а такая сфера некомпактна. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять какую-нибудь бесконечную ортонормированную последовательность элементов Она ограничена, ибо но некомпактна, так как при

Мы дадим ниже два новых определения вполне непрерывного оператора и докажем их равносильность указанному выше основному определению. Предварительно сделаем одно простое замечание.

Если из двух последовательностей одна сходится слабо, а другая сильно соответственно к ограниченный линейный оператор, то

Это вытекает непосредственно из теоремы 1 [132] и того факта, что если то и если то Дадим теперь два новых определения вполне непрерывного оператора.

Определение 1. Говорят, что линейный оператор А вполне непрерывен, если формула (69) имеет место для любых последовательностей слабо сходящихся к

Определение 2. Говорят, что линейный оператор А вполне непрерывен, если из следует

Покажем, что эти определения равносильны. Пусть А удовлетворяет условию (69) для слабо сходящихся последовательностей Мы можем написать

Если то и оба члена второй части, в силу (69), стремятся к нулю, т. е. или Таким образом, из первого определения вытекает второе. Положим теперь, что из следует При этом формула (69) непосредственно следует из теоремы 1. Имея равносильность указанных двух определений, для доказательства равносильности их основному определению достаточно доказать, что основное определение равносильно определению 2. Положим, что А удовлетворяет определению ограниченная последовательность элементов. Мы можем выбрать подпоследовательность так, что и тем самым, в силу определения , т. е. множество компактно, и из определения 2 следует основное определение. Положим наоборот, что А удовлетворяет основному определению, и пусть Надо доказать, что Доказываем от обратного. Пусть т. е. существует такая подпоследовательность значков, что . В силу основного определения множество компактно, и можно считать, что сильно сходится к некоторому элементу который, в силу должен быть отличен от . Но и, следовательно, а по предыдущему и тем более Мы получили противоречие.

Таким образом, доказано, что новые определения вполне непрерывного оператора равносильны основному определению. В дальнейшем мы выясним понятие слабой сходимости в

Теорема. Если линейный оператор и вполне непрерывен, то и А вполне непрерывен. Пусть ограниченная последовательность элементов . По условию теоремы компактна, т. е. имеется сходящаяся подпоследовательность Покажем, что и сходящаяся подпоследовательность, откуда и будет следовать теорема. Мы имеем

Ввиду сходимости последовательности правая часть при , а, следовательно, и сходящаяся последовательность.

Следствие. Если А вполне непрерывен, то и А вполне непрерывен.

Если А вполне непрерывен, то вполне непрерывен оператор но, тогда, согласно теореме 2, примененной к А, — вполне непрерывный оператор.

Напомним следующее свойство последовательностей операторов: если последовательность вполне непрерывных операторов сходится по норме к линейному оператору А, то А — также вполне непрерывный оператор [106]. Отметим специальный класс вполне непрерывных операторов.

Определение. Линейный оператор D называется конечномерним, если он может быть представлен в виде

где фиксированные элементы Н.

Нетрудно видеть, что конечномерный оператор вполне непрерывен. Действительно, из следует и, в силу

Из сказанного выше непосредственно следует, что если последовательность конечномерных операторов, стремящаяся по норме к линейному оператору А, то А — вполне непрерывный оператор.

Мы покажем в следующем параграфе, что всякий вполне непрерывный оператор может быть представлен как предел по норме последовательности конечномерных операторов.