что если
ортогонально ко всем
из
, т. е.
то
эквивалентно нулю. Выберем
из
специальным образом. Пусть
— какое-либо конечное положительное число,
множество тех
для которых
любая часть
меры
. Определим
так, что
если
для других
Такое
принадлежит
и, применяя (100), получим
Это равенство справедливо и для любой части
а потому, например,
где
есть положительная часть
эквивалентна нулю на
Беспредельно увеличивая
и принимая во внимание (94), получим, что
эквивалентна нулю на
Аналогично можем утверждать то же и для
и лемма доказана. Отметим, что при доказательстве леммы мы пользовались лишь тем, что
любая заданная неотрицательная, почти везде конечная и измеримая на
функция. В дальнейшем через
будем обозначать аналогичный линеал для произведения
Он также повсюду плотен в
Теорема 2. Если формула (93) определяет ограниченный оператору то сопряженный оператор есть интегральный оператор с ядром.
Обозначая через А оператор (93) и принимая во внимание определение сопряженного оператора
можем написать
где
и мы считаем, что
Принимая во внимание неравенство
и тот факт, что
можем утверждать, что существует один из повторных интегралов для
и, следовательно, в интеграле, стоящем в левой части (104), мы можем менять порядок интегрирования, а потому можем переписать формулу (104) в виде
Повторяя доказательство теоремы 1, убедимся в том, что разность, стоящая в квадратных скобках, эквивалентна нулю, и, переходя к сопряженным величинам, можно написать
откуда и следует утверждение теоремы. Равенство
запишется для интегральных операторов, в силу доказанной теоремы, в виде
что сводится к возможности изменения порядка интегрирования. Соответствующий двойной интеграл может и не существовать. Если ядро удовлетворяет, кроме указанных условий, еще условию
то оператор (105) совпадает с оператором (93), т. е. оператор (93) — самосопряженный.