27. Формула обращения.

Во втором томе мы доказали вторую теорему о среднем, разложимость функции в ряд Фурье и интегральную формулу Фурье в предположении, что исследуемая функция удовлетворяет условиям Дирихле. Просматривая все доказательства, нетрудно убедиться в том, что они сохраняют свою силу, если условие Дирихле заменить требованием, чтобы функция была ограниченной вариации. Для интеграла Фурье мы имеем таким образом следующий результат: если есть функция ограниченной вариации на любом конечном промежутке и абсолютно интегрируема в смысле Римана по бесконечному промежутку, то из формулы

вытекает следующая формула обращения:

причем последний интеграл надо понимать в смысле главного значения и в левой части в точке разрыва надо заменить

Этот результат записывают иногда в несколько иной форме, а именно из формулы

следует [III; 130]:

Нашей задачей является построение формулы обращения для интеграла (131). Нетрудно предвидеть, какой вид должна иметь эта формула. Применим следующий эвристический прием, не имеющий, конечно, доказательной силы. Заменим в интеграле на , причём будем считать, что есть производная от Таким образом, получим

и формула обращения для обычного интеграла Фурье даст нам

Интегрируя обе части последней формулы по например от до некоторого значения и производя в правой части интегрирование под знаком интеграла, получим, окончательно, следующую формулу обращения:

В левую часть ее вошло значение в фиксированной точке так как функция определяется, очевидно, лишь с точностью до постоянного слагаемого. Мы должны теперь провести строгое доказательство формулы (144).

Фиксируя каким-нибудь образом значение переменной рассмотрим следующую функцию переменной у:

Как разность двух возрастающих функций она будет функцией ограниченной вариации на любом конечном промежутке. Докажем еще, что она абсолютно интегрируема по бесконечному промежутку. Для определенности будем считать . При доказательство проводится совершенно так же. Принимая во внимание, что функция возрастает, можем написать

или, совершая в первом интеграле замену переменного интегрирования:

Принимая во внимание, что в промежутке имеем а в промежутке имеем , получим

Отсюда видно, что для достаточно больших значений и любых интеграл (146) сколь угодно мал, что и доказывает абсолютную интегрируемость функции по бесконечному промежутку. Таким образом, к функции (145) применима формула Фурье

или,

Рассмотрим внутренний интеграл и применим к нему формулу интегрирования по частям:

откуда, пользуясь формулой (131), получим

Совершая в последнем интеграле замену переменных интегрирования придем, окончательно, к следующей формуле:

Подставляя это в формулу (147), получим формулу обращения (144).

Напомним, что в формуле (143), которая дает обращение обычного преобразования Фурье, левую часть в точках разрыва этой функции надо считать, как мы знаем [II: 143], равной среднему арифметическому пределов слева и справа. Следовательно, то же замечание относится и к левой части формулы (143) и левой части формулы обращения (144). Формула обращения (144) для интеграла (131) справедлива и в том случае, когда есть функция ограниченной вариации. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно представить в виде разности двух возрастающих функций, разбить интеграл (131) на два интеграла и к каждому из них применить доказанную выше формулу обращения.