44. Предел измеримых функций.

В этом параграфе мы исследуем предельный переход для измеримых функций. Основным результатом будет тот факт, что предельный переход для измеримых функций приводит вновь к измеримым функциям. Предварительно выясним некоторые обстоятельства, связанные с понятием предела. Пусть имеется последовательность вещественных чисел

причем среди этих чисел могут быть и числа или . Обозначим через точную нижнюю границу множества чисел и через точную верхнюю границу упомянутого множества, т. е.

При возрастании упомянутое множество чисел становится беднее, и, следовательно, не убывает и не возрастает. Таким образом, при беспредельном возрастании монотонные последовательности имеют конечные или бесконечные пределы:

причем, в силу монотонности, имеем

и, кроме того, из следует . Отметим при этом, что у последовательности мы считаем предел равным и аналогично для Число S называется обычно нижним пределом последовательности (2), а число Т — верхним пределом этой последовательности.

Пользуются часто следующей записью:

Докажем следующую лемму.

Лемма. Для существования предела (конечного или бесконечного) у последовательности (2) необходимо и достаточно, чтобы и если это условие выполнено, то упомянутый предел равен

Докажем сначала достаточность. Мы имеем при и если пределы совпадают, т. е. то очевидно Докажем теперь необходимость. Пусть последовательность (2) имеет конечный предел а. При этом все числа заключаются в промежутке при достаточно больших значениях , причем s — произвольно заданное малое положительное число. Поэтому в указанном же промежутке заключаются и все при достаточно больших значениях . Отсюда, ввиду произвольности , следует, что Совершенно аналогично рассматривается случай бесконечного предела у последовательности (2). Докажем теперь некоторые свойства последовательности измеримых функций.

Теорема 1. Если последовательность измеримых функций, то точная нижняя и точная верхняя границы значений

в любой точке Р множества суть также измеримые функции, т. е. функции

измеримы.

Докажем, например, измеримость функции . Если в точке Р мы имеем , то по крайней мере одно из значений также и наоборот, если по крайней мере одно из значений , то . Таким образом, имеем

откуда, в силу измеримости функций и следует измеримость .

Теорема 2. Если имеется последовательность измеримых функций монотонно возрастающая монотонно убывающая) в каждой точке Р множества предельная функция также измерима.

Теорема непосредственно следует из предыдущей, так как для монотонно возрастающей последовательности функций предельная функция совпадает с точной верхней границей , а для монотонно убывающей последовательности — с точной нижней границей

Теорема 3. Если последовательность измеримых функций, то нижний предел и верхний предел этой последовательности суть также измеримые функции.

Введем функции

Они измеримы при любом в силу теоремы 1. Функции суть пределы монотонных последовательностей а потому, в силу теоремы 2, они также суть измеримые функции.

Теорема 4. Если последовательность измеримых функций, сходящаяся в каждой точке Р множества и предельная функция измерима.

Измеримость непосредственно следует из теоремы 3, поскольку при наличии в каждой точке предела он совпадает с . Последняя теорема является основной для дальнейшего, и мы ее сейчас несколько обобщим.

Говорят, что некоторое свойство имеет место почти везде на , если оно имеет место во всех точках , кроме множества точек, имеющих меру нуль.

Теорема 5. Если последовательность измеримых на g функций, сходящихся почти везде на , то и предельная функция измерима.

Отметим, что предельная функция может быть не определена на некоторой части А множества g, причем А имеет меру нуль.

Мы определим на А любым образом. Последовательность сходится во всех точках измеримого множества , и, по теореме измерима на g. Кроме того, она измерима и на А в силу теоремы 3 из [42]. Следовательно, измерима на множестве и теорема доказана.

Введем новое понятие сходимости последовательности функций.

Определение. Пусть измеримые на g функции, принимающие конечные значения. Говорят, что последовательность сходится по мере к на g, если при любом заданном положительном мера множества точек, в которых выполняется неравенство стремится к нулю при беспредельном возрастании п.

В следующих двух теоремах будет установлена связь между сходимостью почти везде и сходимостью по мере.

Теорема 6. Пусть g — измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых на g функций, которые принимают почти везде на g конечные значения и сходятся почти везде на g к функции также принимающей почти везде на g конечные значения. При этом сходится по мере на

Пусть — заданное положительное число. Введем множество точек :

Нам надо доказать, что Введем множество точек, в которых принимают бесконечное значение, и множество, в котором не стремится к :

По условию теоремы, все эти множества имеют меру нуль. То же можно утверждать и об их сумме [36]:

т. е. . Если не принадлежит С, то имеют конечные значения, и Введем множества

Последовательность есть невозрастающая последовательность множеств конечной меры, поскольку g имеет конечную меру, и — предельное множество для так что

Покажем, что , т. е. покажем, что если не принадлежит С, то не принадлежит Действительно, если не принадлежит С, то конечны и , т. е. существует такое N, что Отсюда следует, что не принадлежит при не принадлежит при , а поэтому не принадлежит S. Итак, . Но поэтому и, в силу Но, в силу первой из формул а потому и подавно что и требовалось доказать.

Замечание. Отметим, что множество С мы можем присоединить ко всем . В силу и после такого присоединения будем иметь во всех точках множества будет выполнено неравенство - сходимости по мере не вытекает сходимость почти везде, но имеет место следующая:

Теорема 7. Пусть — измеримое мнооюество конечной меры, измеримые на функции, причем по мере стремится к на . При этом существует такая подпоследовательность которая стремится почти везде к на .

Выберем последовательность положительных чисел такую, что при и последовательность таких положительных чисел что ряд сходится. В силу сходимости по мере, существует такая беспредельно возрастающая последовательность значков что для множеств выполнено неравенство Введем множества

Нетрудно показать, что Действительно,

и последняя сумма при в силу сходимости ряда Покажем теперь, что на множестве . Поскольку , то этим и будет доказана теорема.

Пусть точка и тем самым Отсюда следует, что не принадлежит при всех достаточно больших k, а следовательно, не принадлежит при всех достаточно больших k, т. е. существует такое что при Вспоминая определение мы получаем ПРИ откуда и следует ибо при

Замечание. Можно было бы, очевидно, предположить, как и в теореме 6, что лишь почти везде конечны на , и при исключении на множеств А и на оставшемся множестве по мере сходятся к

Существует теорема, которая связывает сходимость почти везде с равномерной сходимостью. Эта теорема была доказана в 1911 г. Д. Ф. Егоровым. В дальнейшем мы не будем ею пользоваться и ограничимся лишь ее формулировкой.

Теорема. Пусть — измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых на функций, которые принимают почти везде на g конечные значения и сходятся почти везде на к функции также принимающей почти везде на g конечные значения. При этом для всякого заданного положительного существует такое замкнутое множество F, принадлежащее , что и сходимость равномерна.