81. Интеграл Хеллингера.

Исследуем более подробно семейство V. Отметим прежде всего, что из условия (60) следует, что если то она абсолютно непрерывна. При этом мы имели формулу (98)

и, кроме того [78]:

В силу (76), можем выбрать последовательность подразделений так, чтобы иметь неравенство

При этом, в силу (62), будем иметь и из доказательства теоремы предыдущего параграфа следует, что почти везде на и

Из (100) и (110) следует, что при этом

Пользуясь теоремой 4 из [54], можем написать

откуда следует, что на . Докажем теперь неравенство противоположное (112).

Применяя к (111) неравенство Буняковского, напишем

Деля на G (g и суммируя но k, получим

а потому и для точной верхней границы написанных сумм будем иметь

Сравнивая с (112), получаем

Мы доказали, что для всякой из функция входящая в представление (111), принадлежит , и что имеет место формула (114). Наоборот, если нам известно, что представимо формулой (111), где на то из оценки (113), выведенной лишь на основе (111), следует, что Принимая во внимание единственность представления в виде (111), можем утверждать и справедливость формулы (114). Мы приходим, таким образом, к следующей важной теореме:

Теорема 1. Для того, чтобы принадлежала на необходимо и достаточно, чтобы имело представление (111), где на Если это условие выполнено, то имеет место формула (114).

Укажем другое необходимое и достаточное условие принадлежности

Теорема 2. Для того чтобы принадлежала на необходимо и достаточно существование такой вполне аддитивной на неотрицательной функции что выполняется неравенство

Действительно, если это условие выполнено, то суммы ограничены:

Наоборот, если то имеет место формула (111) и на , а следонательно, и на любом измеримом относительно подмножестве Положим

Применяя к (111) неравенство Буняковского, мы получим (115), и, таким образом, теорема доказала.

Если на то точная верхняя граница сумм называется интегралом Хеллингера и обозначается следующим символом:

Формула (114) дает при этом преобразование интеграла Хеллингера в интеграл Лебега:

Если подразделение есть продолжение , и l есть интеграл (117), т. е. точная верхняя граница сумм то, как мы знаем, Принимая это во внимание, можем утверждать, что интеграл (117) обладает следующим свойством: при любом заданном существует такое подразделение , что для любого его продолжения имеет место неравенство

Покажем, что число i с указанным свойством может быть только одно. Пусть имеется еще число L с указанным свойством. Кроме (119) мы будем еще иметь где играет роль в (119). Взяв произведение можем написать оба неравенства

Для указанных 8, получим в силу :

откуда, в силу произвольности , и следует, что Пусть рассмотрим сумму

которая может быть, очевидно, представлена в виде

т. е.

Для каждой из сумм, стоящих справа, мы имеем свойство (119), причём мы можем считать одним и тем же, так как различные b можем заменить их произведением. Таким образом, и для сумм мы имеем свойство (119); соответствующее число i для сумм (120) обозначается так:

Принимая во внимание (121), можем написать

или, принимая во внимание (118),

где - функция точки из соответствующая

Более общие суммы вида

где — ограничена и измерима относительно , и — любая точка из изучаются так же. Можно показать, что и для этих сумм существует единственное число обладающее свойством (119), в котором надо заменить на причем указанное в (119) неравенство выполняется при любом выборе . Это число i может быть выражено интегралом Лебега — Стилтьеса:

Свойство (119) лежит в основе общего определения интеграла. В следующих параграфах мы более подробно рассмотрим случай одного переменного.