172. Интегральные операторы в L2.

Мы уже рассматривали интегральные операторы в Рассмотрим теперь их более подробно в

где - измеримая функция в промежутке а потому почти для всех из измерима по у и наоборот. Положим далее, что почти для всех она принадлежит как функция от у и наоборот, т. е.

где - измеримые неотрицательные функции [67, 68]. Из (94) следует, что при любой существует интеграл (93) для почти всех и функция есть измеримая функция [67, 68]. Для того, чтобы при наличии (94) преобразование (93) было линейным ограниченным преобразованием, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено следующее условие: при любом выборе из существует такое положительное число N, что

Укажем простое достаточное условие ограниченности оператора, соответствующего ядру совершенно аналогичное условиям ограниченности матрицы: существует такое положительное число что

Достаточно показать ограниченность соответствующего билинейного функционала. Заменяя в повторном интеграле, выражающем этот функционал, все функции их модулями, мы можем заменить

повторный интеграл двойным:

Но последнее выражение равно если При помощи совершенно такого же метода доказательства можно дать более общее достаточное условие ограниченности оператора (93), а именно следующее: существует такое положительное число и такая положительная непрерывная в функция что