157. Возмущение спектра самосопряженного оператора.

Напомним, что точками сгущения спектра самосопряженного оператора называются те значения X, которые являются или предельными точками точечного спектра, или собственными значениями бесконечного ранга, или точками непрерывного спектра. Мы докажем ниже следующую теорему:

Теорема 1. Если к самосопряженному оператору А добавить вполне непрерывный самосопряженный оператор С, то при этом множество точек сгущения спектра останется прежним.

Но оказывается, что добавление вполне непрерывного оператора может существенно изменить характер спектра, а именно имеет место следующая теорема:

Теорема 2. К любому заданному самосопряженному оператору А можно прибавить такой самосопряженный вполне непрерывный оператор С с абсолютной нормой, не превышающей любого заданного положительного числа , что будет иметь чисто точечный спектр.

Пользуясь этой теоремой, можно доказать следующее предложение:

Теорема 3. Если у самосопряженных операторов одно и то же множество точек сгущения спектра, то существует такой унитарный оператор U и такой самосопряженный вполне непрерывный оператор С, что

Мы докажем лишь теорему 1. Предварительно докажем две леммы.

Лемма 1. Если есть точка сгущения спектра самосопряженного оператора А, то существует такая последовательность нормированных элементов слабо сходящихся к нулю, что

Если предельная точка точечного спектра или собственное значение бесконечного ранга, то существует бесконечная последовательность попарно ортогональных нормированных элементов для которых соответствующие собственные значения стремятся к . Если z — любой элемент, то его коэффициенты Фурье стремятся к нулю и, стетовательно, и утверждение леммы для рассматриваемого случая вытекает из формулы

Положим теперь, что есть точка непрерывного спектра и — непрерывная часть спектральной функции. Разность при любом малом положительном b есть проектор в некоторое подпространство . Возьмем последовательность положительных чисел такую, что и последовательность нормированных элементов из Z. Покажем, что при этом также выполняется утверждение леммы. По определению имеем и для любого элемента

Но мы имеем и слабая сходимость доказана. Для доказательства (307) надо воспользоваться следующей очевидной формулой

Лемма 2. Если не есть точка сгущения спектра, то для любой последовательности нормированных элементов слабо сходящейся к нулю, существует такое положительное число а, что для всех достаточно больших имеем

По условию леммы существует такое положительное число d, что в промежутке спектральная функция или постоянна, или ее изменение сводится к скачку в точке причем подпространство собственных элементов соответствующих этому скачку, имеет конечную размерность. Мы имеем

или

Если то получим (308), положив . Положим теперь, что имеет скачок при и пусть полная ортонормированная система в L При этом

в силу имеем из формулы (309) следует, что (308) выполнено для достаточно больших , если, например, положить Из доказанных лемм непосредственно следует, что, для того, чтобы было точкой сгущения спектра, необходимой

достаточно, чтобы существовала такая последовательность нормированных элементов что и имеет место (307).

Теперь уже нетрудно доказать теорему 1. Прибавим к оператору А вполне непрерывный самосопряженный оператор С, и пусть . При этом , где также вполне непрерывный самосопряженный оператор. Пусть точка сгущения спектра А и последовательность, удовлетворяющая условию (307). При этом, в силу и из неравенства следует, что есть точка сгущения спектра и для А. Точно так же из формулы следует и наоборот, что всякая точка сгущения спектра есть и точка сгущения спектра теорема таким образом доказана.