64. Класс L2 на множестве бесконечной меры.

Построение класса и теория ортогональных функций без труда переносится на случай множества бесконечной меры. Мы говорим, что функция на множестве бесконечной меры принадлежит если она измерима на и ее квадрат или квадрат ее модуля есть суммируемая на функция. Все теоремы из [55], кроме теоремы 1, остаются в силе. В теореме 1 мы существенным образом использовали конечность меры . Можно легко дать пример функции, принадлежащей и не суммируемой. Например, функция принадлежит на промежутке ибо — суммируема, но сама функция не суммируема. Кроме того, мы использовали конечность меры при доказательстве теоремы 8. Покажем, что эта теорема остается справедливой и в том случае, когда мера бесконечна. Положим для определенности, что есть полная плоскость Пусть последовательность функций, принадлежащих на сходится в себе. Пусть промежуток, определяемый неравенствами: . Функции принадлежат и сходятся в себе на каждом ибо интеграл от неотрицательной функции по не больше интеграла от той же функции по всей плоскости. Из теоремы 8 [56] следует, что можно выбрать из последовательности подпоследовательность которая сходится почти везде на Из указанной подпоследовательности мы можем выделить новую подпоследовательность которая сходится почти везде на и т. д. Нетрудно видеть, что подпоследовательность сходится почти везде на Пусть предельная функция для этой подпоследовательности. В силу того, что последовательность сходится в себе на для любого

заданного положительного существует такое N, что

Устремляя к бесконечности, получаем, как и в [56],

что и доказывает теорему 8.

Если на и задано то существует такое что

Определим функцию следующим образом: вне Очевидно

и отсюда видно, что линеал функций отличных от нуля лишь на некотором конечном промежутке, повсюду плотен в на

Докажем сепарабельность На как доказано выше, существует повсюду плотное в множество функций Продолжаем эти функции нулем на все получим таким образом счетное множество функций из . Нетрудно видеть, что они повсюду плотны в . Действительно, пусть и задано . При этом существует такое что

и можно, согласно сказанному выше, выбрать такую функцию из указанного выше счетного множества, что

и отсюда, в силу того, что вне

что и доказывает сепарабельность .

Покажем теперь, что линеал непрерывных функций равных нулю вне некоторого конечного промежутка (различного для различных , всюду плотен в .

Этот линеал называется обычно линеалом финитных непрерывных функций.

Пусть и задано . Покажем, что существует такая финитная непрерывная функция что мы видели выше, существует такое , что Фиксируя это мы можем утверждать, что существует такая непрерывная в функция что и обозначим Берем какое-нибудь полагаем на границе и продолжаем на весь промежуток с сохранением непрерывности и без повышения Вне полагаем так что так что финитная непрерывная функция. Принимая во внимание сказанное выше, получаем

Но равна интегралу от но . Для интеграла Лебега:

и выбираем h таким, что после чего получаем что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение справедливо и для интеграла Лебела-Стилтьеса.

Как и выше, доказывается теорема 2 из [60]. Отметим, что для интеграла Лебега полиномы не принадлежат . Если g — любое измеримое множество, то, продолжая функции из на нулем, получим функции из Исходя из этого, мы можем распространить все сказанное выше и на случай любого неограниченного измеримого множества.

В качестве примера замкнутой ортогональной системы на промежутке приведем функции Эрмита

и на промежутке — функции Лагерра

Оба примера относятся к интегралу Лебега.

Простое доказательство замкнутости этих систем имеется в книге Гильберта — Куранта «Методы математической физики», т. I, стр. 88.

Сказанное выше о непосредственно переносится и на как это имело место и для случая ограниченного множества, а также на случай комплексных функций.