64. Класс L2 на множестве бесконечной меры.
Построение класса
и теория ортогональных функций без труда переносится на случай множества
бесконечной меры. Мы говорим, что функция
на множестве
бесконечной меры принадлежит
если она измерима на
и ее квадрат
или квадрат ее модуля
есть суммируемая на
функция. Все теоремы из [55], кроме теоремы 1, остаются в силе. В теореме 1 мы существенным образом использовали конечность меры
. Можно легко дать пример функции, принадлежащей
и не суммируемой. Например, функция принадлежит
на промежутке
ибо — суммируема, но сама функция не суммируема. Кроме того, мы использовали конечность меры
при доказательстве теоремы 8. Покажем, что эта теорема остается справедливой и в том случае, когда мера
бесконечна. Положим для определенности, что
есть полная плоскость
Пусть последовательность
функций, принадлежащих
на
сходится в себе. Пусть
промежуток, определяемый неравенствами:
. Функции
принадлежат
и сходятся в себе на каждом
ибо интеграл от неотрицательной функции по
не больше интеграла от той же функции по всей плоскости. Из теоремы 8 [56] следует, что можно выбрать из последовательности
подпоследовательность
которая сходится почти везде на
Из указанной подпоследовательности мы можем выделить новую подпоследовательность
которая сходится почти везде на
и т. д. Нетрудно видеть, что подпоследовательность
сходится почти везде на
Пусть
предельная функция для этой подпоследовательности. В силу того, что последовательность
сходится в себе на
для любого
заданного положительного
существует такое N, что
Устремляя
к бесконечности, получаем, как и в [56],
что и доказывает теорему 8.
Если
на
и задано
то существует такое
что
Определим функцию
следующим образом:
вне
Очевидно
и отсюда видно, что линеал функций
отличных от нуля лишь на некотором конечном промежутке, повсюду плотен в
на
Докажем сепарабельность
На
как доказано выше, существует повсюду плотное в
множество функций
Продолжаем эти функции нулем на все
получим таким образом счетное множество функций
из
. Нетрудно видеть, что они повсюду плотны в
. Действительно, пусть
и задано
. При этом существует такое
что
и можно, согласно сказанному выше, выбрать такую функцию
из указанного выше счетного множества, что
и отсюда, в силу того, что
вне
что и доказывает сепарабельность
.
Покажем теперь, что линеал непрерывных функций
равных нулю вне некоторого конечного промежутка (различного для различных
, всюду плотен в
.
Этот линеал называется обычно линеалом финитных непрерывных функций.
Пусть
и задано
. Покажем, что существует такая финитная непрерывная функция
что
мы видели выше, существует такое
, что
Фиксируя это
мы можем утверждать, что существует такая непрерывная в
функция
что
и обозначим
Берем какое-нибудь
полагаем
на границе
и продолжаем
на весь промежуток
с сохранением непрерывности и без повышения
Вне
полагаем
так что
так что
финитная непрерывная функция. Принимая во внимание сказанное выше, получаем
Но
равна интегралу от
но
. Для интеграла Лебега:
и выбираем h таким, что
после чего получаем
что и требовалось доказать. Аналогичное утверждение справедливо и для интеграла Лебела-Стилтьеса.
Как и выше, доказывается теорема 2 из [60]. Отметим, что для интеграла Лебега полиномы не принадлежат
. Если g — любое измеримое множество, то, продолжая функции из
на
нулем, получим функции из
Исходя из этого, мы можем распространить все сказанное выше и на случай любого неограниченного измеримого множества.
В качестве примера замкнутой ортогональной системы на промежутке
приведем функции Эрмита
и на промежутке
— функции Лагерра
Оба примера относятся к интегралу Лебега.
Простое доказательство замкнутости этих систем имеется в книге Гильберта — Куранта «Методы математической физики», т. I, стр. 88.
Сказанное выше о
непосредственно переносится и на
как это имело место и для случая ограниченного множества, а также на случай комплексных функций.