185. Сопряженный оператор.

Начнем с одного простого замечания, а именно отметим, что если элемент ортогонален линеалу плотному в , то — нулевой элемент.

Действительно, пусть если и пусть у любой элемент Н. В силу того, что l плотен в существует последовательность элементов из l такая, что По свойству имеем и в пределе т. е. z ортогонален любому элементу из Н, в частности, самому себе, т. е. откуда Если l не плотен, то существует, очевидно, элемент z, ортогональный

В дальнейшем мы операторы всегда будем считать дистрибутивными.

Положим, что оператор А определен на линеале плотном в Н. Составим , где и у — любой элемент Н. Существуют такие элементы у, что при любом из может быть представлен в виде

где у — некоторый элемент из Н. Так, например, если то для любого из Если для некоторого представление (1) возможно, то в этом представлении у единственно. Действительно, если при некотором у мы имели бы для то, вычитая, мы получили бы ортогонален линеалу , откуда следует, что Множество элементов у, для которых возможно представление в виде есть, очевидно, некоторый линеал и на этом линеале определен дистрибутивный оператор, переводящий у в Этот оператор называется сопряженным с А

и обозначается символом А; так что есть а формула (1) переписывается в виде

Из предыдущего рассуждения следует, что для существования А необходимо и достаточно, чтобы линеал был плотен в Н. Как мы указали выше, А есть дистрибутивный оператор. Для ограниченного оператора A мы имеем прежнее определение А. Выясним теперь ряд свойств сопряженного оператора.

Теорема Оператор А — замкнутый.

Пусть По определению имеем , где и, переходя к пределу, получим откуда, в силу определения А, следует, что Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если плотны в Н и , то

Линеал образован такими элементами у, для которых при любых выполняется равенство у, причем . Но, в силу , из при следует при , т. е. если то , а это и значит, что .

Теорема 3. Если плотно в Н и А допускает замыкание, то

Мы имеем и, следовательно, , и остается показать, что всякий элемент у из принадлежит и По условию при и нам достаточно показать, что при . Если то существует такая последовательность из что По условию и в пределе . Что и требовалось доказать.

Теорема 4. Если существуют то .

Линеал элементов определяется равенством при причем Но из определения А мы имеем где откуда и следует, что .

Поскольку, в силу теоремы есть замкнутый оператор, то из следует, что А допускает замкнутые расширения, т. е. существование А является достаточным условием того, чтобы А допускал замкнутые расширения. Дальше мы увидим, что это условие и необходимо. Напомним, что существование А равносильно тому, что плотно в

Теорема 5. Если плотны в и существует обратный оператор то существуют операторы и

Существование непосредствено следует из того, что плотны в Н. Пусть . Мы имеем

откуда следует, что и

Это показывает, что уравнение имеет только нулеиое решение (в ), т. е. существует оператор и, кроме того и, (4) следует

Пусть теперь Мы имеем

откуда и

Но из этого равенства вытекает, что

что совместно с (5) и дает (3). Теорема доказана.

С понятием сопряженного оператора связан вопрос о разрешимости уравнения

Замкнутый оператор А с областью , плотной в называется нормально разрешимым, если для разрешимости уравнения (6) (не обязательно однозначной) необходимо и достаточно, чтобы у было ортогонально к подпространству решений уравнения

Теорема 6. Для нормальной разрешимости замкнутого оператора А с областью плотной в Н, необходимо и достаточно, чтобы было подпространством.

Оператор А замкнут, и множество решений уравнения (7) есть некоторое подпространство Нетрудно видеть, что все элементы l ортогональны Действительно, если то . Тем самым, в силу непрерывности скалярного произведения, ортогонально подпространству . Покажем теперь, что если некоторый элемент w ортогонален , то он принадлежит L Действительно, из следует: Из сказанного следует, что все Н есть прямая сумма двух ортогональных подпространств

и для нормальной разрешимости А необходимо и достаточно, чтобы совпадало с т. е. чтобы было подпространстиом,