146. Чисто точечный спектр.

Говорят, что самосопряженный оператор А имеет чисто точечный спектр, если ортогональная нормированная система (232) замкнута в пространстве Н (сепарабельном) [ср. 128]. Это равносильно тому, что подпространство определяемое формулой (235), совпадает с Н, или тому, что проектор определяемый формулой (236), есть тождественное преобразование, т. е.

Умножая обе части этой формулы на и принимая во внимание что при и равно при мы получим выражение для через скачки этого проектора:

В рассматриваемом случае любой элемент представляется рядом (237), причем суть коэффициенты Фурье относительно системы (232). Применяя к обеим частям формулы (237) оператор А и принимая во внимание, что мы получим

Умножая скалярно на у и обозначая через коэффициенты Фурье элемента т. е.

получаем выражение для билинейного функционала:

При у = х получаем формулу для квадратичного функционала

которая вполне аналогична формуле представления квадратичной формы (формы Эрмита) в виде суммы квадратов. Таким образом, в случае чисто точечного спектра имеем очень простое представление для самого оператора А, билинейного и квадратичного функционалов при помощи ортогональной нормированной системы (232). Переходим к рассмотрению так называемого чисто непрерывного спектра.