146. Чисто точечный спектр.
Говорят, что самосопряженный оператор А имеет чисто точечный спектр, если ортогональная нормированная система (232) замкнута в пространстве Н (сепарабельном) [ср. 128]. Это равносильно тому, что подпространство 
определяемое формулой (235), совпадает с Н, или тому, что проектор 
определяемый формулой (236), есть тождественное преобразование, т. е.
Умножая обе части этой формулы на 
и принимая во внимание что 
при и равно 
при мы получим выражение для 
через скачки этого проектора:
В рассматриваемом случае любой элемент 
представляется рядом (237), причем 
суть коэффициенты Фурье 
относительно системы (232). Применяя к обеим частям формулы (237) оператор А и принимая во внимание, что 
мы получим
Умножая скалярно на у и обозначая через 
коэффициенты Фурье элемента 
т. е.
получаем выражение для билинейного функционала:
При у = х получаем формулу для квадратичного функционала
которая вполне аналогична формуле представления квадратичной формы (формы Эрмита) в виде суммы квадратов. Таким образом, в случае чисто точечного спектра имеем очень простое представление для самого оператора А, билинейного и квадратичного функционалов при помощи ортогональной нормированной системы (232). Переходим к рассмотрению так называемого чисто непрерывного спектра.
