181. Ядра, зависящие от разности.
Пользуясь оператором (158) на промежутке
и переходя с помощью преобразования Т к унитарноэквивалентным операторам, легко строить ограниченные самосопряженные интегральные операторы с ядром, зависящим от разности.
Наметим схему такого построения. Оператор
унитарно-эквивалентный (158), выражается, очевидно, формулой
Здесь и в дальнейшем вместо
мы пишем просто интеграл с бесконечными пределами. Считая, что не только ограничена, но и суммируема на промежутке
и что
из L также суммируема, сможем переставить порядок интегрирования и получим
или, вводя функцию
можем написать оператор В в виде
Спектральная функция В выражается, как мы знаем, формулой
, где
— спектральная функция В. Если ядро удовлетворяет, как это будет в последующих примерах, условию (97) из [172], т. е.
то формула (162) применима, очевидно, не только к тем
, которые суммируемы на промежутке
, но и ко всему L. Рассмотрим примеры применения указанной схемы.
1. Пусть
Границами оператора являются:
. При любом X из промежутка [0, 2) уравнение
имеет не более двух корней и оператор (164) имеет чисто непрерывный спектр.
Ядро оператора В определяется формулой
и
Полученное ядро удовлетворяет условию (94) из (172):
В силу (159), спектральная функция оператора (164) определяется так:
при
при
, т. е.
где
т. е.
Написанные несобственные интегралы с бесконечными пределами надо понимать в смысле среднего квадратичного приближения. Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, возможность чего легко оправдать, и принимая во внимание, что
получим
Оператор
имеет чисто непрерывный спектр, и
должно стремиться (в среднем) к нулю при
, т. е.
Построим дифференциальные решения для оператора (165). Легко видеть что однородное уравнение
имеет решения соърх и
не принадлежащие
, т. е.
Умножая обе части на и интегрируя по X от 0 до X, или, что то же, по
от
до
получим следующие два дифференциальных решения:
Эти функции уже принадлежат
и из самого способа их построения следует, что они удовлетворяют уравнению (129) и обращаются в нуль при
, т. е. при
Множитель
нами добавлен для того, чтобы иметь возможность интегрировать от
и получить таким образом решения, непрерывные вплоть до
. Решения (168) взаимно ортогональны
в основном промежутке
, так как одно из них есть четная, а другое нечетная функция.
Выписываем формулы (120) и (121) из [176]. Простое вычисление дает
и
Полнота системы решений (168) может быть проверена при помощи формулы (128) из
. Если мы применим формулу (123) к вещественной функции
из и функции
равной единице на промежутке
и нулю вне него, то получим после элементарных преобразований
что при некоторых дополнительных предположениях приводит к обычной
муле Фурье. Отметим, что решения (168) должны получаться применением оператора к функциям
что легко проверить. Если бы мы при интегрировании не добавляли бы множителя
и стали интегрировать
то получили бы простые дифференциальные решения
которые теряют смысл при
причем
нормы беспредельно возрастают при
.
Рассмотрим общий случай преобразования (162), считая, что
вещественная четная функция, удовлетворяющая условию (163). При этом оператор (162) определен во всем
и является ограниченным самосопряженным. Мы можем составить
причем
т. е.
есть ограниченная функция и
, так что
. Можно доказать, что и в данном случае имеет место формула (122), которую
можем написать в виде
откуда следует
и, принимая во внимание вторую из формул (169), мы видим, что оператор (162) унитарно эквивалентен оператору умножения на ограниченную функцию
Укажем один тип ядер, приводящихся к ядру, зависящему от разности. Пусть
вещественное симметричное ядро на промежутке
, являющееся однородной функцией
измерения. Если мы в интегральном операторе с таким ядром
введем вместо х и у новые независимые переменные
а вместо
новые функции
то получим интегральный оператор
с ядром, зависящим от
. Действительно, в силу однородности
и, полагая
можем написать
причем, в силу симметрии
последнее выражение есть четная функция
. Принимая во внимание, что
мы видим, что при указанной замене переменных пространство
функций на промежутке
переходит в пространство функций на промежутке
Можно непосредственно определить норму оператора (170) при помощи следующей простой теоремы.
Теорема. Если
— неотрицательна, однородна степени
и
то
Отметим, что интегралы формулы (171) равны в силу однородности ядра. Переписав подинтегральную функцию в виде
и применяя неравенство Буняковского, получим
, где
и совершенно аналогично
откуда и следует (172). Из (172) следует, что норма оператора с ядром
не превышает k. В частности, если положить
то, в силу
получим
Совершая указанную выше замену переменных, можно показать, что оператор с ядром
имеет непрерывный спектр на промежутке
.