181. Ядра, зависящие от разности.

Пользуясь оператором (158) на промежутке и переходя с помощью преобразования Т к унитарноэквивалентным операторам, легко строить ограниченные самосопряженные интегральные операторы с ядром, зависящим от разности.

Наметим схему такого построения. Оператор унитарно-эквивалентный (158), выражается, очевидно, формулой

Здесь и в дальнейшем вместо мы пишем просто интеграл с бесконечными пределами. Считая, что не только ограничена, но и суммируема на промежутке и что из L также суммируема, сможем переставить порядок интегрирования и получим

или, вводя функцию

можем написать оператор В в виде

Спектральная функция В выражается, как мы знаем, формулой , где — спектральная функция В. Если ядро удовлетворяет, как это будет в последующих примерах, условию (97) из [172], т. е.

то формула (162) применима, очевидно, не только к тем , которые суммируемы на промежутке , но и ко всему L. Рассмотрим примеры применения указанной схемы.

1. Пусть

Границами оператора являются: . При любом X из промежутка [0, 2) уравнение имеет не более двух корней и оператор (164) имеет чисто непрерывный спектр.

Ядро оператора В определяется формулой

и

Полученное ядро удовлетворяет условию (94) из (172):

В силу (159), спектральная функция оператора (164) определяется так: при при , т. е.

где

т. е.

Написанные несобственные интегралы с бесконечными пределами надо понимать в смысле среднего квадратичного приближения. Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, возможность чего легко оправдать, и принимая во внимание, что получим

Оператор имеет чисто непрерывный спектр, и должно стремиться (в среднем) к нулю при , т. е.

Построим дифференциальные решения для оператора (165). Легко видеть что однородное уравнение имеет решения соърх и не принадлежащие , т. е.

Умножая обе части на и интегрируя по X от 0 до X, или, что то же, по от до получим следующие два дифференциальных решения:

Эти функции уже принадлежат и из самого способа их построения следует, что они удовлетворяют уравнению (129) и обращаются в нуль при , т. е. при Множитель нами добавлен для того, чтобы иметь возможность интегрировать от и получить таким образом решения, непрерывные вплоть до . Решения (168) взаимно ортогональны в основном промежутке , так как одно из них есть четная, а другое нечетная функция.

Выписываем формулы (120) и (121) из [176]. Простое вычисление дает

и

Полнота системы решений (168) может быть проверена при помощи формулы (128) из . Если мы применим формулу (123) к вещественной функции из и функции равной единице на промежутке и нулю вне него, то получим после элементарных преобразований

что при некоторых дополнительных предположениях приводит к обычной муле Фурье. Отметим, что решения (168) должны получаться применением оператора к функциям что легко проверить. Если бы мы при интегрировании не добавляли бы множителя и стали интегрировать то получили бы простые дифференциальные решения которые теряют смысл при причем нормы беспредельно возрастают при .

Рассмотрим общий случай преобразования (162), считая, что вещественная четная функция, удовлетворяющая условию (163). При этом оператор (162) определен во всем и является ограниченным самосопряженным. Мы можем составить

причем

т. е. есть ограниченная функция и , так что . Можно доказать, что и в данном случае имеет место формула (122), которую

можем написать в виде

откуда следует и, принимая во внимание вторую из формул (169), мы видим, что оператор (162) унитарно эквивалентен оператору умножения на ограниченную функцию

Укажем один тип ядер, приводящихся к ядру, зависящему от разности. Пусть вещественное симметричное ядро на промежутке , являющееся однородной функцией измерения. Если мы в интегральном операторе с таким ядром

введем вместо х и у новые независимые переменные а вместо новые функции то получим интегральный оператор

с ядром, зависящим от . Действительно, в силу однородности и, полагая можем написать

причем, в силу симметрии последнее выражение есть четная функция . Принимая во внимание, что мы видим, что при указанной замене переменных пространство функций на промежутке переходит в пространство функций на промежутке Можно непосредственно определить норму оператора (170) при помощи следующей простой теоремы.

Теорема. Если — неотрицательна, однородна степени и

то

Отметим, что интегралы формулы (171) равны в силу однородности ядра. Переписав подинтегральную функцию в виде

и применяя неравенство Буняковского, получим , где

и совершенно аналогично откуда и следует (172). Из (172) следует, что норма оператора с ядром не превышает k. В частности, если положить то, в силу

получим

Совершая указанную выше замену переменных, можно показать, что оператор с ядром имеет непрерывный спектр на промежутке .