189. Спектр самосопряженного оператора.

Как и в [128], доказывается, что собственные значения самосопряженного оператора вещественны, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, и самосопряженный оператор порождает ортонормированную систему собственных элементов. Отметим, что, в силу замкнутости самосопряженного оператора, собственные элементы, соответствующие фиксированному собственному значению (включая нулевой элемент), образуют подпространство.

Определения регулярной точки оператора и точки спектра те же, что и в [129]. Докажем теперь для самосопряженного оператора теоремы, аналогичные теоремам из [1291.

Теорема 1. Если X — не собственное значение самосопряженного оператора А, то линеал плотен в Н.

Если X — вещественное число, то — самосопряженный оператор, и утверждение теоремы есть следствие теоремы I из [187]. Пусть X — невещественное число. Если бы мы имели , то существовал бы ненулевой элемент z, ортогональный к , т. е.

Отсюда следует, что т. е. , что нелепо, ибо А может иметь только вещественные собственные значения.

Теорема 2. Для того чтобы X была регулярной точкой спектра самосопряженного оператора А необходимо и достаточно существование такого положительного числа , что

Невещественные значения X суть регулярные точки самосопряженного оператора.

Доказательство то же, что и в [129], с той лишь разницей, что вместо непрерывности А надо воспользоваться его замкнутостью.

Как и в [129], получаем из доказанного следующее следствие: точки спектра образуют замкнутое множество.

Дальше мы увидим, что всякий самосопряженный оператор имеет по крайней мере одну точку спектра.

Невещественные значения X суть регулярные точки самосопряженного оператора Л, поэтому дальше будем говорить лишь о вещественных X. В этом случае оператор — — самосопряженный,

Пусть X — не есть собственное значение. Если замкнутый оператор определенный на всем , ограничен, т. е. X — регулярная точка.

Наоборот, если не есть то из теоремы 3 [187] следует, что есть неограниченный на оператор. Мы приходим к следующей теореме:

Теорема 3. Пусть вещественное X — не есть собственное значение. Если регулярная точка, и если линеал не все Н (этот линеал плотен в ), то X — точка спектра.

Рассмотрим теперь случай, когда X есть собственное значение, и обозначим подпространство соответствующих собственных элементов (включая нулевой элемент). Имеется единственный оператор, для которого это — оператор умножения на число при всех . В остальных случаях подпространство правильная часть Н.

Покажем теперь, что есть множество элементов ортогональных линеалу

Действительно, из следует, в силу самосопряженности , что и, наоборот, если то Отсюда следует, что подпространство дополнительное к

есть замыкание линеала элементов у, определяемых формулой:

. Представим элемент из в виде где Из определения следует, что а потому и т. е. проекция линеала на есть линеал из D(А). Обозначим его через Это есть, очевидно, линеал тех элементов которые принадлежат D(А). На этом линеале определен оператор А, и нетрудно видеть, что если то Действительно, по условию если и удовлетворяет уравнению и потому . В силу сказанного выше мы можем рассматривать оператор А как оператор в подпространстве которое мы можем считать новым пространством Н. Обозначим этот оператор через так что определен на если Вместо D(A) мы можем писать D(А), следуя обычному обозначению.

Из одной общей теоремы, которую мы докажем в [191], следует, что плотно в и что есть самосопряженный в оператор. Значение X, по самому построению не может быть собственным значением но может быть как регулярной точкой так и точкой спектра этого оператора. В первом случае

преобразует и полное пространство а по втором — и линеал плотный в . Вместо мы можем писать . Для всех из мы имеем

Сказанное выше приводит к следуюцей классификации значений X.

I. Регулярные значения X, для которых характерным является факт, что и существует ограниченный обратный оператор

II. Значения X, для которых есть линеал, отличный от На существует обратный неограниченный оператор Обычно говорят, что такие значения X принадлежат непрерывному спектру.

III. Значения X, которые являются собственными значениями А, и для которых имеет X точкой регулярности. Для таких значений есть подпространство, не совпадающее с Н. Про такие значения X обычно говорят, что они принадлежат только точечному спектру.

IV. Значения X, которые являются собственными значениями А и для которых имеет X точкой спектра. Для таких значений не есть подпространство, а есть линеал, замыкание которого есть подпространство, не совпадающее с Н. Про тжие значения X говорят, что они одновременно принадлежат точечному и непрерывному спектру.

В спектре самосопряженного оператора А могут и отсутствовать некоторые типы значений X. Но для ограниченных самосопряженных операторов мы доказали, что спектр будет содержать по крайней мере одну точку. Нетрудно видеть, что то же имеет место и для неограниченного самосопряженного оператора А. Действительно, положим, что при всяком вещественном X оператор (А — Х?) имеет ограниченный обратный. Мы имеем очевидное равенство

причем обе части представляют собой самосопряженный ограниченный оператор. Из указанного предположения и написанного равенства следует, что при любом вещественном есть все а это противоречит тому, что ограниченный оператор имеет точки спектра.

Дальше будет показано, что у неограниченного самосопряженного оператора имеется бесчисленное множество точек спектра, расположенных вне любого фиксированного промежутка оси X.

Если X не собственное значение А, то оператор

как мы знаем, называется резольвентой опеоатора А. Он определен на и преобразует этот линеал биоднозначпо в

Из определения обратного оператора следует, что если . Как и для ограниченных операторов имеет место формула

Если X — вещественное число, то она следует из самосопряженности . При комплексном X она вытекает из формул . Если — регулярные значения, то совершенно так же, как и для ограниченных операторов, доказывается формула [144]: