§ 2. Измеримые функции

42. Определение измеримых функций.

Задачей настоящего и следующих параграфов будет построение некоторого класса функций и исследование свойств этих функций. В дальнейшем на основе этого класса функций будет дано общее определение интеграла. При изложении мы будем считать, что функция лежащая в основе теории измерения, каким-нибудь образом фиксирована, т. е. будем рассматривать некоторое определенное тело . Это может быть, например, тело множеств L, измеримых по Лебегу. Пусть на измеримом множестве g задана функция точки принимающая вещественные значения. Эти значения могут быть как конечными, так и бесконечными, т. е. функция может, кроме конечных значений, принимать значение или . Введем следующее

обозначение. Обозначим символом множества тех точек g, в которых Аналогичным образом символ обозначает множество тех точек g, в которых . Если две функции, то символ обозначает множество точек g, в которых и т. д.

Определение. Функция заданная на измеримом множестве g, называется измеримой, если для любого вещественного а множества

измеримы. Докажем прежде всего следующую теорему:

Теорема 1. Для измеримости множеств (1) при любом а достаточно, чтобы одно из этих множеств было измеримо при любом а.

Множества суть дополнительные множества, и измеримость одного из них при любом а равносильна измеримости другого. Точно так же измеримость третьего из множеств (1) равносильна измеримости четвертого множества (1). Докажем, например, что из измеримости третьего множества при любом а следует и измеримость остальных множеств. Действительно, из измеримости третьего множества следует измеримость четвертого множества и множества , которое можно представить в виде

а тем самым и второго множества.

Отметим еще, что множества могут быть представлены в виде

Заметим, что достаточно доказать измеримость (1) только для рациональных значений а. Действительно, всякое иррациональное число а можно представить как предел убывающей последовательности рациональных чисел, и измеримость непосредственно вытекает из формулы

Выясним ряд простых свойств измеримых функций, непосредственно вытекающих из данного выше определения.

Теорема 2. Если измерима на g, то она измерима и на любой измеримой части g множества g. Если измерима

на конечном или счетном числе множеств попарно без общих точек, то она измерима и на множестве g, которое является суммой

Утверждения теоремы непосредственно вытекают из следующих формул:

Теорема 3. множество меры нуль, то любая функция измерима на этом множестве.

Действительно, при любом а множество есть часть множества g, имеющего меру нуль, а следовательно, и множество имеет меру нуль, т. е. измеримо.

Определение. Две функции определенные на множестве g, называются эквивалентными на этом множестве или просто эквивалентными, если множество имеет меру нуль. Докажем относительно эквивалентных функций следующую теорему.

Теорема 4. Если эквивалентные функции на измеримом множестве g, и одна из них измерима, то и другая измерима.

По условию теоремы, множество есть множество меры нуль. На измеримом множестве мы имеем . Из измеримости на g следует и измеримость на g, а потому и измеримость на g. На множестве А функция измерима в силу теоремы 3. Таким образом, в силу теоремы измерима на множестве и теорема доказана.

Легко доказать, что если эквивалентна эквивалентна эквивалентна эквивалентна эквивалентна если соответствующие действия имеют почти везде смысл.

Если две непрерывные функции эквивалентны в смысле лебеговой меры на некотором промежутке или всей плоскости, то нетрудно видеть, что их значения совпадают во всех точках. Действительно, если, например, в некоторой точке мы имели бы то это неравенство, в силу непрерывности функций, сохранилось бы в некоторой достаточно малой -окрестности точки причем , а это противоречит определению эквивалентности функций.

Укажем простые примеры измеримых функций. Положим, что непрерывна на конечном замкнутом промежутке Рассмотрим при любом а множество и покажем, что оно замкнуто. Отсюда будет непосредственно следовать, что оно измеримо, а потому измеримая функция. Если последовательность точек, имеющих предельную точку Р, и то, в силу

непрерывности функций, и что показывает замкнутость множества . Точно так же, если непрерывна на всей плоскости, то она измерима. Действительно, если любой замкнутый промежуток, то, как мы только что показали, множество измеримо. При расширении предельное множество будет также измеримым. Это предельное множество есть множество всех тех точек плоскости, где

Положим теперь, что имеет одну точку разрыва Накроем ее последовательностью открытых промежутков которые беспредельно сжимаются к . Вне функция непрерывна и множество тех точек Р, в которых а, замкнуто. При возрастании множества не убывают и стремятся к измеримому множеству . К этому множеству надо еще добавить если и получится таким образом множество всех точек, в которых причем это множество, в силу предыдущего, измеримо. То же рассуждение применимо и в случае конечного числа точек разрыва, т. е. функция с конечным числом точек разрыва непрерывности измерима.

Отметим без доказательства следующее предложение: если принимает конечные значения на замкнутом промежутке и множество ее точек разрыва непрерывности имеет меру нуль, то измерима на А. Но это условие измеримости является только достаточным. Легко дать пример, когда всякая точка множества § есть точка разрыва, и все же функция измерима. Рассмотрим функцию , определенную на промежутке [0,1] следующим образом: если есть рациональное число, и если иррационально. Возьмем лебегово измерение, т. е. тот случай, когда длина промежутка. При этом мера любой точки равна нулю. Рациональные точки промежутка [0,1] образуют счетное множество и в силу того, что мера вполне аддитивна, множество рациональных точек также имеет меру нуль. Построенная функция отличается от функции, тождественно равной единице на всем промежутке, лишь на множестве рациональных точек, имеющих меру нуль, т. е. эквивалентна функции, тождественно равной единице, и, в силу теоремы измерима. Но нетрудно видеть, что всякая точка промежутка [0,1] есть точка разрыва . Действительно, в любой -окрестности находятся как рациональные, так и иррациональные значения , т. е. в любой -окрестности функция принимает и значение 0 и значение 1, а потому есть точка разрыва. В [45] мы укажем глубокую связь понятия измеримости с понятием непрерывности.

Рассмотрим еще так называемую кусочно-постоянную на измеримом множестве функцию, т. е. такую функцию которая принимает на g конечное или счетное число значений . Если те множества на которых суть измеримые множества, то из определения измеримости непосредственно следует, что

кусочно-постоянная функция измерима на g. Приведем еще один пример. Пусть измерима на измеримом множестве g. Положим ее равной нулю на дополнительном множестве Построенная таким образом функция измерима на g и на т. е., в силу теоремы 2, измерима на всей плоскости.

Рассмотрим еще случай одного переменного. Пусть — неубывающая функция, положенная в основу измерения [42], и измеримая функция. В этом случае говорят иногда, что измерима относительно а если то говорят просто, что измерима.