135. Линейные уравнения со вполне непрерывными операторами.
Рассмотрим в пространстве И вопрос о разрешимости уравнений вида
где А — вполне непрерывный оператор, А — сопряженный с ним, у — заданный элемент Н и
искомый. Как показал Ф. Рисс, основные теоремы теории интегральных уравнений (теоремы Фредгольма) остаются справедливыми для уравнений (87) и (88) не только в пространстве
но, как мы указали в [107], и в пространствах типа В. Исследуем эти уравнения в
.
Фиксируем число
, входящее в построение операторов
предыдущего параграфа так, чтобы иметь
. Тем самым и
и уравнения (87) и (88) можно переписать в виде
В силу (89) операторы
и
имеют ограниченные обратные. [131]
Введем следующие обозначения:
Уравнение (90) переписываем, вводя
вместо
и к обеим частям (91) применяем оператор
Таким образом, получаем уравнения
где
— заданный элемент и
причем В — оператор, сопряженный с В. Уравнение (94) равносильно (91), и решение уравнения (90) сводится к решению уравнения (93) и формуле
. Таким образом, решение уравнений (90) и (91) сводится к решению уравнений (93) и (94). Напишем еще соответствующие однородные уравнения:
Оператор
конечномерный, и
выражается формулой (84), в которой А надо заменить на
Матрица, соответствующая оператору В в
будет иметь элементы:
Но
при
и, следовательно,
при
. Пусть и
составляющие элементов
соответствующих элементам х и у из Н. Уравнение (93) в
принимает вид
где
— искомые и
заданные числа. Таким образом, все
при
известны, и решение уравнения (93) сводится
к решению системы
уравнений с
неизвестными
Оператору В соответствует матрица
так что уравнение (94) в
имеет вид
где и
составляющие элементов
соответствующих элементам х и у из
.
Каждому решению
первых
уравнений написанной системы
соответствует одно определенное решение
всей системы (100), каковы бы ни были остальные
в котором остальные неизвестные
определяются по формулам
Отметим, что получаемые из (98) и (99) и из (101) и (102), таковы, что ряды с общим членом
сходятся. Для
это непосредственно следует из (98), а для — из (102), если принять во внимание сходимость рядов по k с общим членом
Последнее следует из того, что, в силу (96),
В однородном случае надо положить
Однородная система (99) переписывается в виде
и
при
система (101) — в виде
и
Отметим, что линейно независимые решения конечной однородной системы (104) порождают, в силу (105), линейно независимые решения всей однородной системы бесконечного числа уравнений, соответствующей однородному уравнению (94) в Н. Линейно зависимые решения системы (104) порождают линейно зависимые решения всей системы. Принимая во внимание основные результаты, касающиеся решения систем уравнений, и тот факт, что таблицы коэффициентов
систем (103) и (104) имеют одинаковый ранг, мы получаем следующую теорему:
Теорема
Неоднородные уравнения (87) и (88) разрешимы при любых правых частях у тогда и только тогда, когда соответствующие однородные уравнения
имеют только нулевое решение. В этом случае решение уравнений (87) и (88) при любом у единственно. Однородные уравнения
имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (87) в том случае, когда однородное уравнение имеет решения, отличные от нулевого, и докажем для этого случая теорему.
Теорема 2. Для того чтобы в рассматриваемом случае неоднородное уравнение (87) имело решения, необходимо и достаточно следующее: свободный член у должен быть ортогонален ко всем решениям однородного уравнения
Необходимость. Проводим доказательство, не прибегая
. Пусть уравнение (87) имеет решение
и пусть
— какое-либо решение уравнения (106), т. е.
Надо доказать, что
. Имеем
Достаточность. Дано, что у ортогонально ко всем решениям (106), и надо доказать, что уравнение (87) имеет решения. Переходя в
мы имеем по условию
где
— любое решение системы (104) и при
определяются формулами (105). Подставляя эти выражения при
переписываем (107) в виде
Принимая во внимание, что суммы, стоящие в круглых скобках, суть правые части уравнений (99), а
любое решение системы (104), мы можем утверждать, что система (99) имеет решения
, тем самым и уравнение (87) имеет решения, и теорема доказана.
Рассмотрим теперь уравнение
где
вполне непрерывный оператор и
комплексный параметр. Оператор
также вполне непрерывен, и к уравнению (108) применимы доказанные выше теоремы. В частности, уравнение (108) разрешимо при любом у (и притом однозначно), если однородное уравнение
имеет только нулевое решение (при
это очевидно). Если уравнение (109) имеет решения, отличные от нулевого, то соответствующее значение X есть собственное значение оператора А. Докажем теперь теорему.
Теорема 3. Может существовать лишь конечное число собственных значений, удовлетворяющих условию
где
— любое заданное положительное число. Иначе говоря, нам надо доказать, что может существовать лишь конечное число значений
удовлетворяющих условию
, при которых уравнение (109) имеет ненулевые значения. Доказательство этого утверждения непосредственно связано с той конструкцией, которую мы использовали при доказательстве теоремы 1.
Положим, как и там,
причем фиксируем
настолько большим, чтобы иметь неравенство
При этом оператор
имеет ограниченный обратный при
и он представим рядом
сходящимся по норме равномерно относительно
при
где
— достаточно малое положительное число. Значения
при которых уравнение имеет ненулевые решения, мы получим, если приравняем нулю определитель системы (103), т. е. определитель А с элементами
где
при
при
и
Принимая во внимание сходимость ряда (110), сказанное выше о предельном переходе для последовательности операторов и непрерывность скалярного произведения, можем утверждать, что
регулярные функции в круге
. Тем же свойством обладает, очевидно, и определитель А, а потому уравнение
может иметь лишь конечное число корней, удовлетворяющих условию что и требовалось доказать.