137. Унитарные операторы.
Наряду с самосопряженными операторами рассмотрим еще один класс линейных операторов. Определение. Линейный оператор
называется унитарным, если он не меняет нормы элементов, т. е.
и преобразует Н на все Н, т. е. для любого УН существует прообраз
т. е. такой элемент
что имеет место формула (128).
Отметим, что из этого определения следует, что норма унитарного оператора равна единице. В следующей теореме указаны основные свойства унитарных операторов.
Теорема 1. Унитарный оператор преобразует Н биоднозначно в Н, имеет ограниченный обратный оператор, определяемый формулой
т. е.
причем
также унитарный оператор, и U не меняет скалярного произведения. Условие (130) достаточно для того, чтобы U было унитарным оператором.
Если
— два элемента Н, то, по определению унитарного оператора,
а потому, если
то и
т. е. для различных элементов
формула (128) дает и различные у, т. е. U определяет биоднозначное преобразование Н в себя. Таким образом, существует ограниченный обратный оператор
определенный во всем Н, причем в силу того, что U не меняет нормы, имеем
т. е. оператор
также унитарен. Принимая во внимание неизменность нормы, можем написать
откуда непосредственно следует равенство
Но равенство квадратичных функционалов равносильно равенству входящих в них операторов, т. е.
откуда следует, что U обратен U слева, и, поскольку для U существует ограниченный обратный оператор, мы имеем также
и (129) доказано. Утверждение о том, что U не меняет скалярного произведения, непосредственно следует из равенств
Наконец, покажем, что из (130) вытекает, что
-унитарный оператор. В силу (130) U имеет ограниченный обратный оператор, определяемый формулой (129). Остается доказать, что U не меняет нормы. Это следует, в силу (130), из (131) при у = х.
Отметим еще, что если
два унитарных оператора, то и их произведение
есть также унитарный оператор. Это непосредственно следует из того, что если
преобразуют биоднозначно Н в И и не меняют нормы, то такие же свойства имеет, очевидно, и их произведение. Таким образом оператор, обратный унитарному, унитарен, и произведение унитарных операторов есть унитарный оператор, т. е. унитарные операторы образуют группу.
Пусть
- замкнутая ортогональная и нормированная система. Применяя к ней унитарное преобразование U, получим, в силу доказанных свойств
ортогональную нормированную систему
Для любого вектора
имеем разложение по элементам системы
и тем самым для преобразованного элемента
имеем разложение по элементам системы (133) с теми же коэффициентами:
Элемент
может быть любым элементом из И, и, следовательно, система (133) также замкнута. Наоборот, если имеются две замкнутые ортогональные, нормированные системы и
и мы определим оператор U для любого элемента
имеющего представление (134), формулой (135), то такой оператор преобразует биоднозначно Я в Я и не меняет нормы
т. е. такой оператор U унитарен. Таким образом, всякий унитарный оператор может быть определен при помощи преобразования элементов одной замкнутой ортогональной нормированной системы в элементы другой такой же системы.
Пусть А — некоторый линейный оператор и
. Возьмем какой-либо унитарный оператор U и положим
. В силу
мы можем выразить
через
по формуле
и говорят, что оператор
унитарно эквивалентен А. Из написанной формулы следует
откуда видно, что если В унитарно эквивалентен А, то и А унитарно эквивалентен В. Если Р — проектор в подпространство
то
есть, очевидно, проектор в подпространство, получаемое применением U к подпространству
. Если
собственный элемент А, соответствующий собственному значению
то, обозначая
имеем, очевидно,
т. е. унитарно эквивалентные операторы имеют одинаковые собственные значения, а собственные элементы этих операторов связаны соответствующим унитарным преобразованием. Пользуясь (129), легко проверить, что если
самосопряженный оператор, то и В самосопряженный оператор.
Теорема 2. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Путь
- унитарный оператор и
его собственный элемент, соответствующий собственному значению
Принимая во внимание, что U не меняет нормы, можем написать
т.е.
откуда и следует, в силу
что
Пусть
и
- собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям
Принимая во внимание что U не меняет скалярного произведения, можем написать
Если бы оказалось, что
, то из написанного равенства следовало бы, что
. Но, в силу доказанного выше,
и, следовательно,
что нелепо, ибо
по условию, различны. Введем еще один класс операторов.
Определение. Линейный оператор V называется изометрическим, если он не меняет нормы элементов, т. е.
при
.
Как всякий линейный оператор V определен во всем Н, но не требуется, чтобы V преобразовало Н во все Н, и изометрический оператор может и не быть унитарным. Дадим этому пример. Пусть, как и выше,
замкнутая ортонормированная в Н система, так что всякий элемента представим своим рядом Фурье (134). Определим V формулой
Очевидно, что V — линейный оператор и
Из (137) следует, что V преобразует Н биоднозначпо в подпространство элементов, ортогональных