137. Унитарные операторы.

Наряду с самосопряженными операторами рассмотрим еще один класс линейных операторов. Определение. Линейный оператор

называется унитарным, если он не меняет нормы элементов, т. е. и преобразует Н на все Н, т. е. для любого УН существует прообраз т. е. такой элемент что имеет место формула (128).

Отметим, что из этого определения следует, что норма унитарного оператора равна единице. В следующей теореме указаны основные свойства унитарных операторов.

Теорема 1. Унитарный оператор преобразует Н биоднозначно в Н, имеет ограниченный обратный оператор, определяемый формулой

т. е.

причем также унитарный оператор, и U не меняет скалярного произведения. Условие (130) достаточно для того, чтобы U было унитарным оператором.

Если — два элемента Н, то, по определению унитарного оператора, а потому, если то и т. е. для различных элементов формула (128) дает и различные у, т. е. U определяет биоднозначное преобразование Н в себя. Таким образом, существует ограниченный обратный оператор определенный во всем Н, причем в силу того, что U не меняет нормы, имеем т. е. оператор также унитарен. Принимая во внимание неизменность нормы, можем написать откуда непосредственно следует равенство

Но равенство квадратичных функционалов равносильно равенству входящих в них операторов, т. е. откуда следует, что U обратен U слева, и, поскольку для U существует ограниченный обратный оператор, мы имеем также и (129) доказано. Утверждение о том, что U не меняет скалярного произведения, непосредственно следует из равенств

Наконец, покажем, что из (130) вытекает, что -унитарный оператор. В силу (130) U имеет ограниченный обратный оператор, определяемый формулой (129). Остается доказать, что U не меняет нормы. Это следует, в силу (130), из (131) при у = х.

Отметим еще, что если два унитарных оператора, то и их произведение есть также унитарный оператор. Это непосредственно следует из того, что если преобразуют биоднозначно Н в И и не меняют нормы, то такие же свойства имеет, очевидно, и их произведение. Таким образом оператор, обратный унитарному, унитарен, и произведение унитарных операторов есть унитарный оператор, т. е. унитарные операторы образуют группу.

Пусть

- замкнутая ортогональная и нормированная система. Применяя к ней унитарное преобразование U, получим, в силу доказанных свойств ортогональную нормированную систему

Для любого вектора имеем разложение по элементам системы

и тем самым для преобразованного элемента имеем разложение по элементам системы (133) с теми же коэффициентами:

Элемент может быть любым элементом из И, и, следовательно, система (133) также замкнута. Наоборот, если имеются две замкнутые ортогональные, нормированные системы и и мы определим оператор U для любого элемента имеющего представление (134), формулой (135), то такой оператор преобразует биоднозначно Я в Я и не меняет нормы

т. е. такой оператор U унитарен. Таким образом, всякий унитарный оператор может быть определен при помощи преобразования элементов одной замкнутой ортогональной нормированной системы в элементы другой такой же системы.

Пусть А — некоторый линейный оператор и . Возьмем какой-либо унитарный оператор U и положим . В силу мы можем выразить через по формуле

и говорят, что оператор унитарно эквивалентен А. Из написанной формулы следует откуда видно, что если В унитарно эквивалентен А, то и А унитарно эквивалентен В. Если Р — проектор в подпространство то есть, очевидно, проектор в подпространство, получаемое применением U к подпространству . Если собственный элемент А, соответствующий собственному значению то, обозначая имеем, очевидно, т. е. унитарно эквивалентные операторы имеют одинаковые собственные значения, а собственные элементы этих операторов связаны соответствующим унитарным преобразованием. Пользуясь (129), легко проверить, что если самосопряженный оператор, то и В самосопряженный оператор.

Теорема 2. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Путь - унитарный оператор и его собственный элемент, соответствующий собственному значению Принимая во внимание, что U не меняет нормы, можем написать

т.е. откуда и следует, в силу что Пусть и - собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям

Принимая во внимание что U не меняет скалярного произведения, можем написать

Если бы оказалось, что , то из написанного равенства следовало бы, что . Но, в силу доказанного выше, и, следовательно, что нелепо, ибо по условию, различны. Введем еще один класс операторов.

Определение. Линейный оператор V называется изометрическим, если он не меняет нормы элементов, т. е. при .

Как всякий линейный оператор V определен во всем Н, но не требуется, чтобы V преобразовало Н во все Н, и изометрический оператор может и не быть унитарным. Дадим этому пример. Пусть, как и выше, замкнутая ортонормированная в Н система, так что всякий элемента представим своим рядом Фурье (134). Определим V формулой

Очевидно, что V — линейный оператор и

Из (137) следует, что V преобразует Н биоднозначпо в подпространство элементов, ортогональных