198. Малые возмущения спектра.

Исследуем изменение спектра самосопряженного оператора при добавлении к нему другого самосопряженного оператора. Отметим прежде всего, что для неограниченных самосопряженных операторов справедлива теорема 1 из [157]. Докажем еще две теоремы.

Пусть L — некоторое подпространство. Его размерностью называется число элементов полной в L ортонормированной системы элементов. Это число может быть как конечным, так и бесконечным. Легко показать, что оно не зависит от выбора полной ортонормированной в L системы.

Лемма . Пусть два подпространства размерности Если то в существует элемент, отличный от нулевого, ортогональный ко всем элементам

Отметим, что, в силу сепарабельности число конечно, а может быть как конечным, так и бесконечным. Доказываем лемму от обратного. Предположим, что в нет элемента, отличного от нулевого, ортогонального к Пусть полная ортонормированная в система (базис в ) и Р — проектор в подпространство Для любого элемента имеем

Элементы из определяют некоторое подпространство размерности если линейно зависимы). Покажем, что должно совпадать с . Действительно, если бы это было не то существовал бы элемент отличный от нулевого, ортогональный 13, и мы имели бы и тем самым, в силу последней формулы, т. е. у ортогонально Но, по предположению, такого элемента у нет. Мы доказали, что совпадает с Но, как мы видели, а потому что противоречит условию леммы.

Лемма 2. Пусть А — самосопряженный оператор (неограниченный или ограниченный), В — ограниченный самосопряженный оператор, — спектральная функция А и — спектральная функция суммы . Пусть далее — некоторый конечный промежуток и , где е — какое-нибудь положительное число. При этом размерность подпространства не меньше размерности подпространства .

Отметим прежде всего, что мы пользуемся обозначением из [141] (например, ). Доказываем лемму от обратного. Предположим, что размерность меньше размерности . В силу леммы 1 существует элемент отличный от нулевого и ортогональный Мы можем считать, Принимая во внимание, что и полагая для краткости письма получим

и

С другой стороны, принимая во внимание, что имеем

откуда, учитывая опять ортогональность у к получим

т. е.

Противоречивость неравенств (89) и (90) доказывает лемму.

Теорема Пусть внутри промежутка А спектр оператора А состоит из конечного числа собственных значений, сумма кратностей которых равна k, где k — конечное число, и пусть расстояние остальной части спектра А до А больше

При этом спектр А в промежутке состоит из собственных значений, сумма кратностей которых равна

Согласно лемме 2, при любом размерность к. Если имеет место знак то, пользуясь опять леммой 2 и равенством , мы можем утверждать, что подпространство имеет размерность Но в силу условий теоремы, это не может иметь место при всех , достаточно близких к нулю, т. е. при таких размерность равна откуда и следует теорема.

Замечание. Применяя теорему при мы получаем возможность при малых возмущениях следить за изменением изолированного простого собственного значения.

Теорема 2. Вели внутри А имеется хотя бы одна точка сгущения спектра оператора А, то в промежутке имеется хотя бы одна точка сгущения спектра оператора А.

В этом случае и теорема следует из леммы 2.

Замечание. Если точка сгущения спектра А, то в промежутке имеется по крайней мере одна точка сгущения спектра .