147. Непрерывный простой спектр.

Говорят, что самосопряженный оператор А имеет чисто непрерывный спектр, если спектральная функция непрерывна при всех значениях X. Нашей задачей является построение для случая чисто непрерывного спектра формул, аналогичных формулам предыдущего параграфа. Предварительно нам надо будет ввести одно новое понятие.

Пусть — некоторое множество элементов из И и какие-либо элементы И, принадлежащие е. Образуем их линейные комбинации с произвольными коэффициентами . Множество элементов , которое можно, таким образом, представить в виде конечных линейных комбинаций элементов,

надлежащих , представляет собой, очевидно, некоторый линеал L. Введем новое понятие.

Определение. Замкнутой линейной оболочкой множества Е элементов И называется замыкание указанного линеала L.

Замкнутая линейная оболочка есть подпространство, и характерное свойство принадлежащих ему элементов состоит в следующем: для любого заданного положительного в существует такое конечное множество элементов принадлежащих , и такие числа что

В частности, упомянутому подпространству принадлежат, очевидно, все конечные линейные комбинации элементов из .

Пусть — спектральная функция оператора с чисто непрерывным спектром. Отметим, что в этом случае Берем некоторый элемент х, отличный от нулевого, и образуем множество элементов

где X пробегает все значения от до М. Обозначим через замкнутую линейную оболочку элементов (243). Для любого элемента у из Н мы можем составить соответствующую ему непрерывную функцию от а

Эта функция, очевидно, дистрибутивна по отношению к значку у, т. е.

Составим, кроме того, следующие две непрерывные функции от X:

Они, как мы знаем, не убывают при возрастании X. Если А есть любой промежуток то введем для любой функции обычное обозначение

Мы имеем, например:

т. е.

и аналогично

Для функции имеем

и, следовательно:

т. е.

Отсюда видно, что существует интеграл [81]

Мы покажем дальше, что если то этот интеграл равен . Разобьем промежуток на частичные промежутки и составим следующие элементы пространства :

Если на интервале А функция постоянна, то и и соответствующее выражение (250) не имеет смысла. Мы условимся такие не имеющие смысла члены выбрасывать из дальнейших формул. В силу (183) и (247) остальные элементы (250) попарно ортогональны и нормированы. Коэффициенты Фурье элемента у относительно системы (250) имеют вид

Квадрат нормы разности элемента у и его ряда Фурье выражается, как известно [121], формулой

что приводит к неравенству Бесселя

и в пределе:

Теорема 1. Если , то имеет место формула

Если то, в силу того, что есть замкнутая линейная оболочка для любого заданного положительного в существует такое конечное множество элементов из и такие числа что

Примем точки за точки деления промежутка , добавив еще точки если их не было среди прежних и введем полученные таким образом частичные промежутки обозначая их через А. Мы имеем и можем написать, вводя обычное обозначение

Таким образом, линейная комбинация входящая в (255), может быть представлена в виде линейной комбинации и формула (255) может быть переписана в виде

где новые коэффициенты. Иначе говоря, мы имеем

Это неравенство тем более сохранится, если вместо написанной суммы взять ряд Фурье элемента у относительно ортогональной нормированной системы [121]:

При этом неравенство в силу (2511), запишется в виде

т. е.

Сравнивая это неравенство с (253) и учитывая произвольность s видим, что точная верхняя граница сумм, входящих в неравенство (252), равна т. е. имеет место формула (254). Пользуясь этой формулой и формулой

мы получим для у и z, принадлежащих более общую формулу

где

Для вывода аналогичных формул для билинейного функционала докажем теорему.

Теорома 2. Если также принадлежат . Раз , то или у есть конечная линейная комбинация элементов

или у есть предел таких линейных комбинаций. В первом случае

Но, в силу при при есть также конечная линейная комбинация элементов из и . Если у есть предел конечных линейных комбинаций элементов из :

то

т.е. есть также предел конечных линейных комбинаций из а потому и в этом случае . Элемент в силу (205), есть предел конечных линейных комбинаций Любое по доказанному, а потому всякая конечная линейная комбинация и предел таких линейных комбинаций также принадлежат и теорема доказана,

Таким образом, мы можем написать формулу (256), заменив у на

При этом заменится функцией

и принимая во внимание (180), получим

и формула (256) даст нам

или, принимая во внимание свойство интегралов Хеллингера [83], получим формулу

Далее, в силу (254), при беспредельном измельчании частичных промежутков выражение, стоящее в правой части формулы (251), стремится к нулю, и, следовательно,

Слагаемые написанной суммы суть элементы и предел этой суммы естественно записать в виде интеграла Хеллингера, как это мы делали для обычных сумм:

Если применить эту формулу к элементу вместо у, то, рассуждая аналогично, получим формулу

или, как предел суммы,

Отметим, что, пользуясь аналогичными суммами и предельным переходом в Ну мы можем вообще определить интеграл Хеллингера для элементов Н. Применим теперь формулы (256) и (260) не к элементу а к элементу который также принадлежит где фиксированное число из промежутка . Мы имеем

т. е.

и упомянутые выше формулы дают нам непосредственно

Отметим, что формула (256) равносильна обобщенному уравнению замкнутости, а формулы (259) и (261) — формулам (241) и (240) предыдущего параграфа. Упомянутые формулы настоящего параграфа выведены в предположении, что у и . Говорят, что самосопряженный оператор А имеет простой непрерывный спектр, если существует такой элемент из Ну что совпадает с Н. Если это имеет место, и мы возьмем за только что указанный элемент, то упомянутые формулы справедливы для любых элементов у и z из Н.