13. Принцип выбора.

Мы исследовали раньше принцип выбора для множества непрерывных функций [IV; 15 и 16]. Сейчас докажем теорему, которая даст нам принцип выбора для функций ограниченной вариации.

Теорема (Хелли). Пусть множество функций ограниченной вариации на промежутке или бесконечном), причем существует такое положительное число L, что для всех функций принадлежащих g, имеют место неравенства

т. е. все функции по абсолютной величине ограничены и их вариации на также ограничены некоторым числом. Пои этом из любой бесконечной последовательности функций, принадлежащих множеству можно выделить подпоследовательность которая во всех точках стремится к некоторой функции ограниченной вариации.

Достаточно доказать лишь возможность выделения подпоследовательности которая во всех точках стремится к пределу. После этого из условий теоремы, в силу сказанного в [12], будет непосредственно следовать, что и предельная функция есть функция ограниченной вариации. Предварительно докажем лемму.

Лемма. Если имеется некоторая последовательность функций возрастающих на промежутке и ограниченных одним и тем же числом L, то из нее можно выделить подпоследовательность функций, имеющих во всех точках предел.

Построим счетное множество точек содержащихся в и состоящее из левого конца и всех точек имеющих рациональную абсциссу. Это множество точек плотно, в и мы можем выделить подпоследовательность которая сходится во всех точках

Таким образом, мы получаем предельную функции определенную пока только в точках а и Распространим ее на остальные точки следующим образом. Если есть точка не принадлежащая упомянутому множеству точек то будем считать равным точной верхней границе значений для всех лежащих левее т. е. положим

Построенная таким образом функция будет, очевидно, возрастающей и ограниченной на промежутке Она может иметь только конечное или счетное множество точек разрыва: Во всех точках множества, повсюду плотного на последовательность сходится к Согласно теореме 1 из [12], сходимость будет иметь место и во всех точках непрерывности лежащих внутри Таким образом, сходимость может отсутствовать лишь в точках разрыва функции и на правом конце промежутка. Применяя к последовательности еще раз принцип выбора, можем добиться того, чтобы сходимость имела место и в этих точках [IV; 15], и таким образом лемма доказана.

Теперь уже нетрудно доказать и основную теорему 1. Каждую функцию ограниченной вариации принадлежащую множеству g, мы можем представить в виде разности возрастающих функций

причем, в силу (74), обе эти возрастающие функции по абсолютной величине не превосходят числа L. Применяя лемму, можно утверждать, что из последовательности можно выделить такую последовательность, для которой уменьшаемое в правой части (75) во всех точках стремится к предельной функции. Применяя еще раз лемму, можем утверждать, что из полученной последовательности можно выделить подпоследовательность, для которой и вычитаемое правой части (75) во всех точках стремится к предельной функции. Таким образом, получим такую подпоследовательность которая во всех точках стремится к предельной функции, и тем самым теорема доказана.