203. Сопряженный оператор.

В теореме 3 мы установили связь между введенными нами подпространствами и сопряженным оператором. Выясним до конца состав линеала и связь между А и . Обозначая через любые элементы из и мы имеем следующую теорему:

Теорема. Формула

дает весь линеал и

Всякий элемент представим формулой (131) единственным образом.

Из того факта, что А является расширением А, и теоремы 3 из следует непосредственно, что элементы v, определяемые формулой (131), принадлежат и что имеет место формула (132). Покажем, что v представимо формулой (131) единственным образом, т. е. что из

следует, что все три слагаемые суть нулевые элементы.

Применяя к (133) оператор , получим и, умножая (133) на i и складывая с последним равенством, будем иметь Слагаемые левой части этого равенства взаимно ортогональны и потому оба они должны равняться 0, т. е. Точно так же, умножая (133) на получим и, в силу Остается показать, что всякий элемент v из представим формулой (131). Такой элемент характеризуется тем, что для всех из D(А) имеет место равенство или, в силу (124) и откуда следует

Проектируя во взаимно ортогональные подпространства, можем написать:

где Подставляя в (134) и пользуясь тем, что получим или, полагая где и принадлежит можем написать далее, в силу изометричности Для любого у из и, в частности, при что приводит к равенствуу , т. е. . Подставляя в (135) и вычитая почленно эти равенства, получим откуда и следует представимость формулой вида (131), ибо

Укажем на одно следствие теоремы. Из нее непосредственно вытекает, что формула

переводит линеал элементов v в . Действительно, в силу (131) и (132), получаем причем первое слагаемое есть любой элемент из а второе — любой элемент из дополнительного подпространства Таким образом, если толковать (136) как уравнение относительно v, то оно имеет решения при любом w из Н. При этом однородное уравнение имеет в качестве решения подпространство Если оно не пусто, т. е. первый индекс дефекта , то уравнение (136) при любом w имеет бесконечное множество решений где — какое-либо частное решение (136), а произвольный элемент Частное решение имеет вид (131), и, ввиду возможности добавления к решению любого элемента из мы можем считать, что не содержит т. е. решение уравнения (136) может быть записано в виде: где определенные

элементы и произвольный элемент. Если то отсутствует, и получается определенное решение. Совершенно аналогично уравнение

при произвольном w из Н имеет общее решение где определенные элементы, произвольно. Если второй индекс дефекта то хотсутствует.

Отметим, что имеют место формулы аналогичные формулам (131), (132).