203. Сопряженный оператор.
В теореме 3 мы установили связь между введенными нами подпространствами и сопряженным оператором. Выясним до конца состав линеала
и связь между А и
. Обозначая через
любые элементы из
и мы имеем следующую теорему:
Теорема. Формула
дает весь линеал
и
Всякий элемент
представим формулой (131) единственным образом.
Из того факта, что А является расширением А, и теоремы 3 из
следует непосредственно, что элементы v, определяемые формулой (131), принадлежат
и что имеет место формула (132). Покажем, что v представимо формулой (131) единственным образом, т. е. что из
следует, что все три слагаемые суть нулевые элементы.
Применяя к (133) оператор
, получим
и, умножая (133) на i и складывая с последним равенством, будем иметь
Слагаемые левой части этого равенства взаимно ортогональны и потому оба они должны равняться 0, т. е.
Точно так же, умножая (133) на
получим
и, в силу
Остается показать, что всякий элемент v из
представим формулой (131). Такой элемент характеризуется тем, что для всех
из D(А) имеет место равенство
или, в силу (124) и
откуда следует
Проектируя во взаимно ортогональные подпространства, можем написать:
где
Подставляя в (134) и пользуясь тем, что
получим
или, полагая
где
и
принадлежит
можем написать
далее, в силу изометричности
Для любого у из
и, в частности, при
что приводит к равенствуу
, т. е.
. Подставляя в (135) и вычитая почленно эти равенства, получим
откуда и следует представимость
формулой вида (131), ибо
Укажем на одно следствие теоремы. Из нее непосредственно вытекает, что формула
переводит линеал
элементов v в
. Действительно, в силу (131) и (132), получаем
причем первое слагаемое есть любой элемент из
а второе — любой элемент из дополнительного подпространства
Таким образом, если толковать (136) как уравнение относительно v, то оно имеет решения при любом w из Н. При этом однородное уравнение
имеет в качестве решения подпространство
Если оно не пусто, т. е. первый индекс дефекта
, то уравнение (136) при любом w имеет бесконечное множество решений
где — какое-либо частное решение (136), а
произвольный элемент
Частное решение
имеет вид (131), и, ввиду возможности добавления к решению любого элемента из
мы можем считать, что
не содержит
т. е. решение уравнения (136) может быть записано в виде:
где
определенные