123. Линейные функционалы.

Мы имели выше определение линейного функционала в пространстве типа В и тем самым в . Мы считаем, что он определен во всем Н. Напомним, что его норма, которую мы будем обозначать определяется формулой

и

Укажем пример линейного функционала. Пусть у — фиксированный элемент И. Положим

Его дистрибутивность следует из (1), а ограниченность из (5):

Отметим, что в этом неравенстве при имеет место знак =, т. е. множитель нельзя заменить меньшим, и есть норма функционала (31). Если у есть нулевой элемент, то при любом х (функционал аннулирования).

Оказывается, что формула (31) дает всевозможные функционалы в , т. е. имеет место следующая важная теорема;

Теорема. Всякий линейный функционал представим единственным образом формулой (29), где у — некоторый фиксированный элемент из .

Из дистрибутивности функционала следует, что где — нулевой элемент . Пусть L — множество всех элементов для которых . В силу дистрибутивности и непрерывности есть подпространство. Может случиться, что L есть полное пространство т. е. что для любого элемента Такой функционал мы можем, очевидно, представить в виде Рассмотрим теперь общий случай, когда подпространство L есть часть Н. Пусть z — некоторый фиксированный элемент Н, не принадлежащий L. Мы можем представить его в виде где и причем Так как v не принадлежит L, мы имеем: .

Пусть х - любой элемент из Н. Строим элемент и рассмотрим

Таким образом, видим, что элемент принадлежит и выше мы видели, что . Таким образом, можем написать

или, раскрывая скалярное произведение,

откуда и следует представление в виде скалярного произведения

Остается доказать единственность представления в виде скалярного произведения. Пусть . Отсюда для любого из Н следует . Полагая получим и теорема доказана полностью.

Иногда определенный выше функционал называют линейным функционалом первого рода. При этом линейным функционалом второго рода называют ограниченный функционал, для которого мы имеем следующее свойство:

т. е. постоянные множители при вынесении за знак функционала переходят в комплексные сопряженные числа. Примером линейного функционала второго рода является скалярное произведение, в котором переменный элемент х стоит на втором месте, а фиксированный элемент у — на первом месте:

Если есть линейный функционал второго рода, то есть линейный функционал первого рода. Из этого замечания и теоремы непосредственно следует, что формула дает общий вид линейных функционалов второго рода.

Из теоремы следует также, что всякий линейный функционал вполне определяется элементом у из , т. е. пространство сопряженное с есть Напомним еще, что если на линеале повсюду плотном в имеется дистрибутивный ограниченный функционал то его единственным образом можно распространить на все Н так, что он будет линейным (ограниченным) на И с той же нормой, какую он имел на [97].