73. Сингулярная функция.

В дальнейшем телом Т будет служить тело Оказывается, что не всякая вполне аддитивная на семействе С из функция может быть представлена в виде интеграла (1).

Мы докажем позже следующую основную теорему, которой мы уже сейчас будем пользоваться.

Теорема. Всякая вполне аддитивная на С функция может быть представлена для всех множеств , принадлежащих любому фиксированному множеству из С, формулой

где Н — определенное множество из такое, что измерима и суммируема на . Слагаемое называется сингулярной частью Сингулярная часть определяется значениями на множествах меры нуль. Второе слагаемое, которое мы назовем абсолютно непрерывной частью, равно нулю на любом множестве меры нуль. Докажем теперь единственность разбиения на сингулярную и, абсолютно непрерывную часть. Пусть наряду с (14) мы имеем для из С, принадлежащих , формулу

где . Из этой формулы и (14) получаем

Заменим множеством принадлежащим . Принимая во внимание, что и, следовательно, интеграл по

равен нулю и что мы получим и отсюда следует, что абсолютно непрерывные части должны быть одинаковы, т. е.

При доказательстве теоремы мы будем исходить из любого, но фиксированного множества принадлежащего С, и будем считать, что все как это формулировано в теореме. При разбиении на сингулярную и абсолютно непрерывную часть мы исходили от некоторого множества и считали, что все принадлежат При этом мы получили единственность указанного разбиения. Если бы мы исходили из другого множества отличного от и принадлежащего С, то нетрудно видеть, что для всех множеств, одновременно принадлежащих мы получим то же разбиение, которое мы имели раньше с основным множеством Действительно, в противном случае мы имели бы для множеств, принадлежащих произведению которое также входит в семейство С, два различных разбиения чего быть не может, как мы видели выше.

В указанном смысле мы можем говорить, что разбиение на сингулярную и абсолютно непрерывную часть на всем семействе С единственно.

Покажем, что и функция входящая под знак интеграла в формуле (14), вполне определена, причем мы, как всегда, отождествляем функции, эквивалентные относительно . Нам надо показать, что если имеет место (15) для всех , принадлежащих то разность эквивалентна нулю на

Пусть — та часть где Множества принадлежат С, и мы имеем, заменяя в (15) на и на

откуда и следует, что эквивалентна нулю на ? и а петому и на Если мы составим функцию для двух множеств из С, то, как и выше, на эти две функции эквивалентны. В этом смысле мы можем говорить и об единственности функции Если, например, все конечные промежутки принадлежат С, то применяя предыдущие рассуждения к расширяющимся промежуткам — мы определим единственным образом на всей плоскости. Функция называется обычно производной от по Пусть - круг (или сфера) с центром Р и радиусом е. Можно показать, что для всех Р, кроме, может быть, множества

меры нуль относительно отношение при стремлении s к нулю, стремится к функции, эквивалентной относительно . При этом, конечно, считается, что определена на круге при достаточно малых е. В дальнейшем мы не будем пользоваться указанным утверждением и не приводим его доказательства.

Определение. Функция называется абсолютно непрерывной относительно если для любого фиксированного из С и любого заданного положительного существует такое положительное , что , если Если абсолютно непрерывна относительно то, очевидно, если . Второе слагаемое формулы (14) ячляется, как мы знаем, абсолютно непрерывной функцией на С. Наоборот, если известно, что абсолютно непрерывна, то ибо представимо формулой

т. е. сингулярная часть отсутствует. Из этого рассуждения вытекает следующее следствие основной теоремы:

Следствие. Если при , то представимо формулой (16) и является абсолютно непрерывной относительно функцией на всяком множестве из С.

Отметим, что если не непрерывна, то и определяемая формулой (16), не будет, вообще говоря, непрерывной. Если, например, то . Но абсолютно непрерывна по отношению к в указанном выше смысле.

Если непрерывна, то и определяемая формулой (16), очевидно, непрерывна. Если есть площадь промежутка А и, следовательно, есть тело L множеств, измеримых по Лебегу, формула (14) принимает вид

где Н имеет лебегову меру, равную нулю. Формула (16) принимает вид

и в этом случае очевидно, непрерывна в каждой точке.

Точная верхняя граница значений для множеств , принадлежащих , в случае формулы (16), получится, очевидно, если мы проинтегрируем по множеству, на котором и точная

нижняя граница получится, если мы проинтегрируем по множеству, на котором . Мы имеем, таким образом, следующие формулы для положительной, отрицательной и полной вариации функции определенной формулой (16):

Если мы выделим из функции функцию скачков и к оставшейся непрерывной функции применим разложение по формуле (14), то получим разложение на три слагаемые