V. Некоторые формулы для вычисления центра тяжести

114. Линии.

На линии возьмем две точки (рис. 76) и обозначим через массу дуги Отношение есть средняя плотность дуги Если это отношение не зависит от положения точек Р и то говорят, что линия однородна. Если оно изменяется, то плотностью линии в точке Р называют предел средней плотности дуги когда точка Р стремится к Р. Плотность изменяясь с положением точки Р, является функцией параметра, определяющего положение точки Р на кривой. Пусть бесконечно малый элемент кривой, содержащий точку Р с координатами Масса этого элемента равна , обозначая через М всю массу кривой, а через координаты ее центра тяжести, имеем

Рис. 76.

Если линия однородна, то средняя плотность будет постоянной и масса М будет тогда , где — длина кривой. Для получим:

115. Теорема Гюльдена.

Площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой вокруг оси, расположенной в ее плоскости, а

ее не пересекающей, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описываемой ее центром тяжести, в предположении, что кривая однородна.

В самом деле, отнесем плоскую кривую к оси вращения, принятой за ось и перпендикулярно к последней направим ось Элемент с ординатой у образует при вращении элемент поверхности который можно отождествить с боковой поверхностью усеченного конуса, так что

Следовательно,

что и доказывает теорему.

Если ось пересекает кривую, то найденное выражение для А представляет не полную поверхность, а разность между поверхностями, образованными вращением частей кривой, расположенных по одну и по другую сторону оси, так как в интеграле А элемент будет положительным или отрицательным, в зависимости от того, находится ли элемент выше или ниже оси.

116. Поверхности.

Пусть — масса элемента поверхности с площадью и. Отношение есть средняя плотность элемента а. Плотность поверхности в точке Р есть предел отношения когда а есть бесконечно малый элемент, окружающий точку Р. В общем случае будет функцией двух параметров, определяющих положение точки Р на поверхности. Когда плотность постоянна, поверхность называется однородной.

Пусть — бесконечно малый элемент поверхности, окружающий точку Р с координатами Масса этого элемента равна , обозначив через М всю массу, а через координаты центра тяжести, получим

У однородной поверхности плотность — постоянна, масса М равна где — площадь поверхности, и мы получаем

117. Плоские фигуры.

Примем плоскость фигуры за плоскость Координата С будет тогда равна нулю. Элемент будет иметь разные выражения в зависимости от принятой системы координат. Например, в полярных координатах и 0 элемент будет равен в декартовых косоугольных координатах с углом а между осями он равен

В частности, для однородной фигуры, отнесенной к прямоугольным декартовым координатам, формулы принимают вид

где одно интегрирование всегда может быть выполнено.

118. Теорема Гюльдена.

Объем, образованный плоской фигурой, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры, принимаемой за однородную.

Какой-нибудь элемент фигуры S при вращении вокруг оси описывает элемент объема, равный разности объемов цилиндров, описанных прямоугольниками и (рис. 77), т. е. с точностью до величин третьего порядка равный

Обозначая объем через V, получим

что и доказывает теорему.

Заметим, что если ось пересекает фигуру, то полученная формула будет представлять разность объемов, описанных частями фигуры, расположенными по одну и по другую сторону оси.

Как на обобщение этой теоремы, укажем на исследования Кёнигса об объемах, описываемых кривыми (Journal de Jordan, t. V, 1889). См. также заметку Адамара в Bulletin de la Societe mathematique de France, seance du 7 dec. 1898.

Рис. 77.

119. Объемы.

Возьмем в твердом теле объем V, заключающий массу т. Отношение называется средней, плотностью выделенной части тела. Когда объем стремится к нулю, стягиваясь в точку Р, то отношение стремится к пределу который называется плотностью в точке Р. Эта величина является функцией координат точки Р, и, когда она постоянна, тело называется однородным.

Масса элемента объема окружающего точку Р с координатами равна Следовательно, обозначая через М всю массу, получим формулы

Если тело однородно и имеет объем V, то и

Выражение зависит от избранной системы координат. В косоугольной декартовой системе необходимо принять равным где через обозначен объем параллелепипеда с ребрами, равными единице и параллельными осям координат. В сферических координатах для получается выражение

В случае однородного тела можно всегда начинать с выполнения одного интегрирования и привести тройные интегралы к двойным.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)