274. Формула Клеро.

Если обозначить через I угол, под которым геодезическая линия поверхности вращения пересекает меридиан, проходящий через точку М этой линии, а через расстояние от точки М до оси, то для всех точек линии выполняется соотношение

В самом деле, если рассматривать точку, описывающую геодезическую линию при предыдущих условиях, то момент количества движения, или, что приводится к тому же, момент скорости точки относительно оси будет постоянным. Постоянное значение этого момента как раз равно постоянной С площадей на плоскости, перпендикулярной оси, так как момент скорости относительно оси

равен Разложим скорость движущейся точки М на две составляющие, из которых одна касается параллели, проходящей через точку М, а другая касается меридиана. Момент скорости относительно оси вращения равен сумме моментов этих двух составляющих, но так как момент второй равен нулю, то, следовательно, момент скорости равен моменту только первой составляющей. Следовательно,

Но так как то отсюда получается уравнение (1), причем постоянная имеет значение и поэтому совпадает с той, которая входит в уравнение геодезической линии (п. 273).

Примечание. Соотношение (1) не характеризует геодезических линий. Если линия удовлетворяет этому уравнению, то она является либо геодезической линией, либо параллелью. Действительно, уравнение (1), очевидно, удовлетворяется для параллели, так как для нее Это решение является особым интегралом уравнения