254. Брахистохрона для силы тяжести.

Найдем сначала брахистохрону для силы тяжести. Даны две точки А и В, из которых более высокой является точка А. Найдем, при помощи какой кривой С нужно соединить эти две точки для того, чтобы тяжелая материальная точка, пущенная точки А без начальной

скорости, скользя по этой кривой, достигла точка В за наиболее короткий промежуток времени.

Эта кривая является брахистохроной для силы тяжести или кривой наиболее быстрого ската (рис. 161).

Примем за начало точку А, за ось — вертикаль направленную вниз, за плоскость — вертикальную плоскость, содержащую обе точки А и В. Если тяжелая точка массы скользит без трения по кривой С при начальной скорости в точке А, равной нулю, то ее скорость в положении определяется по закону кинетической энергии:

Рис. 161.

Заменяя через где — элемент дуги, имеем

где — время, необходимое точке для прихода в В.

Для того чтобы это время было наименьшим, необходимо определить кривую С таким образом, чтобы обратить в минимум написанный выше интеграл, который можно представить в виде

где . Мы нашли ранее (глава VII, § III), что кривая, обращающая в минимум интеграл такого вида, является фигурой равновесия нити под действием силы с силовой функцией , при этом натяжение нити равно Три дифференциальных уравнения, которые мы установили для этой кривой, приводятся, как мы видели, к двум.

Для задачи, которую мы сейчас рассматриваем, и сила, действующая на нить, вертикальна, так как поэтому фигура равновесия будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через обе заданные точки. Если эту плоскость принять за плоскость то для нахождения кривой достаточно будет одного уравнения. Мы возьмем первое из общих уравнений

которое приводится к виду

откуда

Переменные разделяются и, полагая получим

Это — дифференциальное уравнение циклоиды, основанием которой является ось Легко найти уравнения кривой в обычной форме, полагая

тогда

Так как циклоида должна проходить через точку А, то и А является точкой возврата (рис. 161). Для окончательного определения циклоиды С, проходящей через обе точки А и В, нужно построить какую-нибудь циклоиду С с основанием и точкой возврата А, соединить А к В прямой, пересекающей циклоиду С в точке В и произвести затем над циклоидой преобразование подобия, приняв за центр точку О и за отношение подобия отношение к

Мы предположили для упрощения, что начальная скорость, с которой точка выходит из положения А, равна нулю. Если мы хотим найти кривую наибыстрейшего ската из А в В, предполагая, что точка начинает двигаться из А по этой кривой с начальной скоростью то достаточно будет заменить интеграл

интегралом

Кривая будет по-прежнему циклоидой с горизонтальным основанием, но это основание будет находиться на высоте

Оссиан Бонне непосредственно доказал, что циклоида действительно осуществляет наименьшее время ската.