254. Брахистохрона для силы тяжести.
Найдем сначала брахистохрону для силы тяжести. Даны две точки А и В, из которых более высокой является точка А. Найдем, при помощи какой кривой С нужно соединить эти две точки для того, чтобы тяжелая материальная точка, пущенная 
точки А без начальной
скорости, скользя по этой кривой, достигла точка В за наиболее короткий промежуток времени.
Эта кривая является брахистохроной для силы тяжести или кривой наиболее быстрого ската (рис. 161).
Примем за начало точку А, за ось 
— вертикаль 
направленную вниз, за плоскость 
— вертикальную плоскость, содержащую обе точки А и В. Если тяжелая точка массы 
скользит без трения по кривой С при начальной скорости в точке А, равной нулю, то ее скорость в положении 
определяется по закону кинетической энергии:
Рис. 161.
Заменяя 
через 
где 
— элемент дуги, имеем
где 
— время, необходимое точке для прихода в В.
Для того чтобы это время было наименьшим, необходимо определить кривую С таким образом, чтобы обратить в минимум написанный выше интеграл, который можно представить в виде
где 
. Мы нашли ранее (глава VII, § III), что кривая, обращающая в минимум интеграл такого вида, является фигурой равновесия нити под действием силы с силовой функцией 
, при этом натяжение нити равно 
Три дифференциальных уравнения, которые мы установили для этой кривой, приводятся, как мы видели, к двум.
Для задачи, которую мы сейчас рассматриваем, 
и сила, действующая на нить, вертикальна, так как 
поэтому фигура равновесия будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через обе заданные точки. Если эту плоскость принять за плоскость 
то для нахождения кривой достаточно будет одного уравнения. Мы возьмем первое из общих уравнений
которое приводится к виду
откуда
Переменные разделяются и, полагая 
получим
Это — дифференциальное уравнение циклоиды, основанием которой является ось 
Легко найти уравнения кривой в обычной форме, полагая
тогда
Так как циклоида должна проходить через точку А, то 
и А является точкой возврата (рис. 161). Для окончательного определения циклоиды С, проходящей через обе точки А и В, нужно построить какую-нибудь циклоиду С с основанием 
и точкой возврата А, соединить А к В прямой, пересекающей циклоиду С в точке В и произвести затем над циклоидой 
преобразование подобия, приняв за центр точку О и за отношение подобия отношение 
к 
Мы предположили для упрощения, что начальная скорость, с которой точка выходит из положения А, равна нулю. Если мы хотим найти кривую наибыстрейшего ската из А в В, предполагая, что точка начинает двигаться из А по этой кривой с начальной скоростью 
то достаточно будет заменить интеграл
интегралом
Кривая будет по-прежнему циклоидой с горизонтальным основанием, но это основание будет находиться на высоте 
Оссиан Бонне непосредственно доказал, что циклоида действительно осуществляет наименьшее время ската.
