IV. Множители Лагранжа
176. Уравнения связей.
Пусть дана система, образованная 
точками
и подчиненная связям, выражаемым соотношениями между их координатами вида
Число 
этих уравнений должно быть меньше числа 
координат, ибо если бы оно равнялось 
то все 
координат определялись бы этими уравнениями. Положим поэтому,
Такая система будет 
лоно мной, так как при помощи равенств (1) можно выразить все координаты в функциях подходящим образом выбранных из них 
координат. Система имеет, следовательно, к степеней свободы. В случае, когда 
система будет с полными связями, так как ее положение зависит только от одного параметра, например, от одной подходящим образом выбранной координаты.
Обозначим через 
равнодействующую заданных сил, действующих на точку 
Тогда на основании принципа возможных скоростей имеем уравнение
которое должно выполняться для всех перемещений 
допускаемых связями.
177. Множители Лагранжа.
Перемещения точек М связаны 
соотношениями, которые получаются дифференцированием уравнений (1), а именно:
Эти 
соотношений между 
вариациями координат показывают, что 
из этих вариаций могут быть выбраны произвольно. Назовем эти вариации независимыми вариациями, а остальные, определяемые уравнениями (3), - зависимыми вариациями.
Для нахождения условий равновесия применим метод множителей Лагранжа. Умножим уравнения (3) соответственно на неопределенные множители 
и сложим их с уравнением (2); после этого определим множители таким образом, чтобы в полученной сумме обратить в нуль коэффициенты при 
зависимых вариациях; тогда коэффициенты при независимых вариациях должны также обратиться в нуль; в результате требуется определить X таким образом, чтобы обращались в нуль все коэффициенты, и мы получаем 
совместных
уравнений:
Эти уравнения совместно с 
уравнениями связей (1) составляют полную систему 
уравнений, определяющих 
координат и 
вспомогательных неизвестных X.
Таковы общие уравнения равновесия.
Как только коэффициенты X будут известны, так сейчас же можно будет определить и реакции связей. В самом деле, мы видим, что уравнения равновесия не изменятся, если отбросить связь 
и присоединить к заданным силам, действующим на точку 
силу 
с проекциями 
эта сила является действием связи на точку 
т. е. тем, что мы называем реакцией связи. Мы непосредственно имеем величину этой силы; ее направление 
нормально к поверхности, которая получится, если предположить, что в уравнении 
всем координатам, кроме 
приданы численные значения, соответствующие положению равновесия, а координаты уч, являются текущими.
Пример. Применим предыдущие рассуждения к равновесию веревочного многоугольника с 
сторонами, концы которого закреплены в двух заданных точках. Здесь будет 
уравнений связи, а именно:
причем координаты 
даны. Общие уравнения равновесия будут
Они действительно совпадают с теми, которые получатся при помощи элементарных методов, если выразить, что сила 
уравновешивается натяжениями двух нитей, оканчивающихся в точке 
Так как коэффициенты при X в этих уравнениях равны направляющим косинусам сторон веревочного многоугольника, то эти X являются абсолютными значениями натяжений.
причем последние направлены вдоль сторон. Мы действительно видим, что они нормальны к поверхностям
где только 
являются переменными, так как эти поверхности являются сферами с центрами в точках 
