Главная > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

IV. Множители Лагранжа

176. Уравнения связей.

Пусть дана система, образованная точками

и подчиненная связям, выражаемым соотношениями между их координатами вида

Число этих уравнений должно быть меньше числа координат, ибо если бы оно равнялось то все координат определялись бы этими уравнениями. Положим поэтому,

Такая система будет лоно мной, так как при помощи равенств (1) можно выразить все координаты в функциях подходящим образом выбранных из них координат. Система имеет, следовательно, к степеней свободы. В случае, когда система будет с полными связями, так как ее положение зависит только от одного параметра, например, от одной подходящим образом выбранной координаты.

Обозначим через равнодействующую заданных сил, действующих на точку Тогда на основании принципа возможных скоростей имеем уравнение

которое должно выполняться для всех перемещений допускаемых связями.

177. Множители Лагранжа.

Перемещения точек М связаны соотношениями, которые получаются дифференцированием уравнений (1), а именно:

Эти соотношений между вариациями координат показывают, что из этих вариаций могут быть выбраны произвольно. Назовем эти вариации независимыми вариациями, а остальные, определяемые уравнениями (3), - зависимыми вариациями.

Для нахождения условий равновесия применим метод множителей Лагранжа. Умножим уравнения (3) соответственно на неопределенные множители и сложим их с уравнением (2); после этого определим множители таким образом, чтобы в полученной сумме обратить в нуль коэффициенты при зависимых вариациях; тогда коэффициенты при независимых вариациях должны также обратиться в нуль; в результате требуется определить X таким образом, чтобы обращались в нуль все коэффициенты, и мы получаем совместных

уравнений:

Эти уравнения совместно с уравнениями связей (1) составляют полную систему уравнений, определяющих координат и вспомогательных неизвестных X.

Таковы общие уравнения равновесия.

Как только коэффициенты X будут известны, так сейчас же можно будет определить и реакции связей. В самом деле, мы видим, что уравнения равновесия не изменятся, если отбросить связь и присоединить к заданным силам, действующим на точку силу с проекциями эта сила является действием связи на точку т. е. тем, что мы называем реакцией связи. Мы непосредственно имеем величину этой силы; ее направление нормально к поверхности, которая получится, если предположить, что в уравнении всем координатам, кроме приданы численные значения, соответствующие положению равновесия, а координаты уч, являются текущими.

Пример. Применим предыдущие рассуждения к равновесию веревочного многоугольника с сторонами, концы которого закреплены в двух заданных точках. Здесь будет уравнений связи, а именно:

причем координаты даны. Общие уравнения равновесия будут

Они действительно совпадают с теми, которые получатся при помощи элементарных методов, если выразить, что сила уравновешивается натяжениями двух нитей, оканчивающихся в точке Так как коэффициенты при X в этих уравнениях равны направляющим косинусам сторон веревочного многоугольника, то эти X являются абсолютными значениями натяжений.

причем последние направлены вдоль сторон. Мы действительно видим, что они нормальны к поверхностям

где только являются переменными, так как эти поверхности являются сферами с центрами в точках

1
Оглавление
email@scask.ru