II. Равновесие нитей

130. Уравнения равновесия.

Найдем условия равновесия нерастяжимой, гибкой нити, находящейся под действием непрерывных сил. Эта задача может рассматриваться, как предельный случай веревочного многоугольника, но мы рассмотрим ее непосредственно.

Обозначим через длину дуги, отсчитываемую от какого-нибудь начала А в каком-нибудь определенном направлении (рис. 89). Мы будем предполагать, что внешние силы, действующие на элемент могут быть представлены в виде одной силы порядка приложенной в какой-нибудь точке этого элемента, Проекции этой силы будут

где X, Y, Z - проекции вектора называемого силой, отнесенной к единице длины.

Если отбросить часть нити и рассматривать оставшуюся часть то для сохранения ее равновесия необходимо будет

приложить в точке М одну-единственную силу Т, так как нить предполагается идеально гибкой. Сила Т называется натяжением нити. Обозначим через направляющие косинусы этого натяжения; его проекции суть

Если же, разрезав нить в точке М, отбросить часть то согласно закону равенства действия и противодействия, для сохранения равновесия части необходимо приложить в точке М силу — Т.

Проекции этого нового натяжения равны

Рис. 89.

Разрежем нить в двух бесконечно близких точках М и и сохраним только элемент Этот элемент будет в равновесии под действием приложенной к нему силы и двух натяжений —Т и которые заменяют действие отброшенных частей нити. Если через обозначить направляющие косинусы натяжения , то его проекции будут:

Напишем, что суммы проекций трех сил равны пулю. Тогда, замечая, что

получим

Моменты трех сил относительно оси х равны, соответственно,

где через обозначены координаты концов дуги Следовательно, сумма моментов сил —Т и Т, равна и по теореме моментов имеем:

Развертывая первое из уравнений (2), можем написать

В силу уравнений (1) члены уничтожаются, и тогда остается

Второе из уравнений (2) показывает, что

это означает, что натяжение направлено по касательной к кривой. К этому же результату можно прийти, рассматривая нить как предел веревочного многоугольника. Общее значение трех отношений равно, очевидно, но натяжения должны быть направлены так, чтобы нить растягивалась. Для этого натяжение Т должно быть направлено в сторону возрастающих дуг. Поэтому надо взять знак Следовательно,

Внеся эти выражения в уравнения (1), получим:

и уравнения (2) являются следствиями уравнений (3).