167. О связях, осуществляемых при помощи тел, не имеющих массы.

Иногда бывает, что в системе, движущейся или находящейся в равновесии, имеются тела, массами которых, по сравнению с массами других тел системы, пренебрегают и считают эти тела лишенными массы. Это предположение можно осуществить, выразив, что силы, приложенные к телу без массы, находятся в равновесии. В самом деле, уравнения движения точки имеют вид

где — проекции равнодействующей всех сил, приложенных к точке. Если точка принадлежит движущейся системе, то ее ускорение конечно и, следовательно, если она имеет очень малую массу, то величины X, Y, Z будут также малыми. Если предположить, что то и X, Y, Z должны быть равны нулю и силы, приложенные к точке, уравновешиваются. Если теперь вообразить систему без массы, то масса каждой точки системы будет равна нулю, все приложенные к этой точке силы будут находиться в равновесии и, следовательно, совокупность всех приложенных к системе сил будет тоже находиться в равновесии.

Если, например, две точки М и связаны между собой при помощи твердого стержня, не имеющего массы, то действия стержня на обе точки выражаются двумя равными и прямо противоположными силами и . В самом деле, если действие стержня на точку М есть то действие точки М на стержень есть точно так же действие точки М на стержень есть Следовательно, силы, действующие на стержень суть и и так как они уравновешиваются, то они равны и прямо противоположны. Мы снова приходим таким образом к связи, разобранной ранее (п. 161).

Рассмотрим еще две материальные точки М и М, связанные нерастяжимой нитью, не имеющей массы и лежащей на неподвижной или движущейся поверхности по которой она может скользить без трения. Пусть Т и Т — действия, оказываемые нитью наточки М и М и, следовательно, действия, оказываемые на нить этими точками. На нить действуют: на концах силы , а на часть, соприкасающуюся с поверхностью -нормальные силы, вызванные реакцией поверхности. Так как нить должна быть в равновесии, то ее натяжение везде одинаково и она должна расположиться по геодезической линии поверхности в частности и Этот род связи встречается среди разобранных выше (п. 163); он приводит к некоторым геометрическим следствиям, которые мы укажем в качестве упражнений в конце главы (упражнения 1 и 2).