165. Доказательство принципа.

Рассмотрим систему материальных точек подчиненных заданным связям и находящихся под действием непосредственно приложенных сил. Обозначим через координаты какой-нибудь из этих точек и через — проекции равнодействующей непосредственно приложенных к ней сил.

Мы хотим доказать следующее предложение: для того, чтобы система в каком-нибудь положении была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы при сообщении системе произвольного возможного перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равнялась нулю.

Это условие необходимо. Действительно, если равновесие имеет место, то каждая точка находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как заданных, так и реакций связей. Более точно можно рассматривать эту точку как свободную при условии приложения к ней некоторых сил вызванных связями. Точка будет тогда находиться в равновесии под действием заданных сил, имеющих равнодействующую и реакций связей Для произвольного возможного перемещения, сообщенного этой точке, сумма работ всех этих сил равна нулю. То же самое справедливо для любой точки системы, и поэтому если всем точкам системы сообщить произвольные перемещения, допускаемые или недопускаемые связями, то сумма работ всех сил как заданных, так и реакций связей будет равна нулю:

Здесь сумма работ заданных сил, а сумма работ реакций связей. Но если перемещения допускаются связями, то на основании предыдущей леммы равна нулю и, следовательно, также

Условие является и достаточным. Если для всех перемещений, допускаемых связями, сумма работ заданных сил равна нулю, то система находится в равновесии. Для доказательства нам достаточно показать, что если система не находится в равновесии, то существует, по крайней мере, одно перемещение, допускаемое связями, для которого отлично от нуля. Действительно, если система не находится в равновесии и предоставлена самой себе, то она начнет двигаться. Перемещения, которые при этом получат точки, будут допускаемые связями и каждая точка рассматриваемая как свободная, переместится в направлении равнодействующей всех действующих на нее сил как заданных, так и реакций связей. В этом действительном перемещении все начальные скорости равны нулю; но мы можем сообщить системе возможное перемещение, при котором каждая точка перемещается в том же направлении, что и при действительном перемещении, но при котором не все возможные скорости точек равны нулю. Тогда сумма работ сил равная работе их равнодействующей, будет положительной, так как перемещение происходит в направлении этой равнодействующей. Так как то же самое имеет место длэт каждой точки системы, то сумма работ заданных сил и реакций связей для рассматриваемого перемещения будет положительной, отличной от нуля. Но это перемещение допускается связями. Следовательно, равно нулю и мы получаем

Отсюда следует, что если для всех перемещений, допускаемых связями, равно нулю, то равновесие будет иметь место.