138. Параллельные силы.
Наиболее простым случаем будет тот, когда внешние силы параллельны одному и тому же направлению. Фигура равновесия будет тогда плоской кривой, плоскость которой параллельна направлению сил, и проекция натяжения на перпендикуляр к этому направлению будет постоянна. Эти два свойства могут рассматриваться как следствия аналогичных свойств, полученных для веревочного многоугольника. Мы докажем, однако, эти свойства непосредственно.
Допустим, что ось 
параллельна общему направлению сил. Тогда X и Z будут все время равны нулю и после интегрирования первого и последнего из уравнений равновесия (3) получим
Исключим из этих уравнений Т. Получим
откуда
Это — уравнение плоскости, параллельной оси 
Следовательно, первая часть нашего предложения доказана. Примем эту плоскость за плоскость 
Тогда можно составить два уравнения равновесия
Внося во второе уравнение значение Т из первого и обозначая через у производную 
получим соотношение
которое является дифференциальным уравнением фигуры равновесия.
В наиболее общем случае равновесия нити сила может быть функцией шести величин 
Сейчас, поскольку кривая плоская, имеем 
. Следовательно, 
должно быть функцией переменных 
. В случае, когда 
зависит только от одной из величин 
задача приводится к квадратурам.
Пусть, например, 
Заменяя 
его значением 
мы видим, что переменные у их разделяются, и после интегрирования получается
Из этого уравнения можно определить у в функции х, после чего у находится новой квадратурой.
Пусть теперь 
Тогда можно принять 
и в уравнении (6) переменные сразу разделяются. В случае, когда существует силовая функция, натяжение, как мы видели, может быть вычислено сразу.
Наконец, если 
есть функция только 
или только у, то уравнение (6) интегрируется сразу.
Естественное уравнение. Пусть а — угол между касательной к кривой равновесия и осью х и пусть 
— радиус кривизны в точке касания. Если написать, что абсолютная величина нормальной составляющей силы есть 
то получим
и так как проекция 
а силы натяжения на ось 
равна постоянной величине А, то дифференциальное уравнение кривой будет
Это уравнение идентично уравнению (6). Если, например,
то из предыдущего уравнения получим для 
постоянное значение, и следовательно, фигура равновесия есть окружность.
