148. Примеры.
1°. Пусть функция
имеет вид
Будем рассматривать кривые, проведенные только в части пространства, расположенной над плоскостью
Кривые С являются фигурами равновесия нити, на каждый элемент которой действует вертикальная сила. Проекция последней на ось
равна
причем натяжение Т равно
Следовательно, кривые являются цепными линиями, лежащими в вертикальных плоскостях и имеющими основания в горизонтальной плоскости
Действительно, мы видели, что если
есть ордината основания находящейся в равновесии цепочки, то натяжение Т равно
следовательно,
должно быть равно нулю.
Рис. 101.
Этот результат имеет интересное геометрическое толкование. Возьмем в вертикальной плоскости
две точки А к В, лежащие над осью
и кривую
соединяющую эти точки (рис. 101). Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси
равна
Следовательно, кривая
описывающая наименьшую площадь, есть цепная линия, соединяющая обе точки А и В и имеющая основанием ось
Если искать цепную линию, удовлетворяющую этим условиям, то окажется, что она не всегда существует. Например, если обе точки А к В имеют
одинаковые ординаты, то она существует только в том случае, когда половина угла при вершине С равнобедренного треугольника
имеющего основание
и вершину в точке С на оси, меньше угла
который образован осью симметрии
(рис. 101) и касательной
к цепной линии, проведенной из точки пересечения оси симметрии с основанием. Мы не будем здесь указывать условий существования цепной линии при произвольном положении точек А и В. Эти условия установлены впервые Гольдшмидтом (Determinatio superficiei mimoe, etc., Гёттинген, 1831).
Когда цепная линия не существует, то кривая
при вращении которой описывается минимальная площадь, состоит из двух ординат
и
заданных точек и отрезка оси
заключенного между А и В. В самом деле, дифференциальные уравнения кривой суть
Из первого имеем
Если
не равно нулю, то получается цепкая линия. Если цепной линии нет, то это решение должно быть отброшено. В этом случае следует положить
, и, следовательно,
Это показывает, что либо
равно нулю, либо х постоянен. Таким образом, часть кривой, не совпадающая с осью
состоит из прямых, к ней перпендикулярных.
2°. Пусть
и по-прежнему рассматриваются точки и кривые, расположенные над плоскостью
Все кривые С лежат в вертикальных плоскостях, причем в одной из них, а именно в плоскости
они имеют дифференциальные уравнения
которые приводятся к одному уравнению. В первом уравнении заменим
через
и затем разделим в нем переменные. Получим
Это уравнение интегрируется сразу. Обозначая через а новую постоянную, найдем
т. е. уравнение окружности с центром на оси
Следовательно, в пространстве кривые С суть окружности, перпендикулярные к плоскости
. Через две точки А и В проходит, очевидно, одна и только одна из этих окружностей.
Геометрия, в которой эти окружности С играют ту же роль, что и прямые в обычной геометрии, и в которой сохранено элементарное понятие угла, а за длину дуги какой-нибудь кривой принимается интеграл
распространенный на эту дугу, является неэвклидовой геометрией Лобачевского.