148. Примеры.

1°. Пусть функция имеет вид Будем рассматривать кривые, проведенные только в части пространства, расположенной над плоскостью Кривые С являются фигурами равновесия нити, на каждый элемент которой действует вертикальная сила. Проекция последней на ось равна причем натяжение Т равно Следовательно, кривые являются цепными линиями, лежащими в вертикальных плоскостях и имеющими основания в горизонтальной плоскости Действительно, мы видели, что если есть ордината основания находящейся в равновесии цепочки, то натяжение Т равно следовательно, должно быть равно нулю.

Рис. 101.

Этот результат имеет интересное геометрическое толкование. Возьмем в вертикальной плоскости две точки А к В, лежащие над осью и кривую соединяющую эти точки (рис. 101). Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси равна

Следовательно, кривая описывающая наименьшую площадь, есть цепная линия, соединяющая обе точки А и В и имеющая основанием ось Если искать цепную линию, удовлетворяющую этим условиям, то окажется, что она не всегда существует. Например, если обе точки А к В имеют

одинаковые ординаты, то она существует только в том случае, когда половина угла при вершине С равнобедренного треугольника имеющего основание и вершину в точке С на оси, меньше угла который образован осью симметрии (рис. 101) и касательной к цепной линии, проведенной из точки пересечения оси симметрии с основанием. Мы не будем здесь указывать условий существования цепной линии при произвольном положении точек А и В. Эти условия установлены впервые Гольдшмидтом (Determinatio superficiei mimoe, etc., Гёттинген, 1831).

Когда цепная линия не существует, то кривая при вращении которой описывается минимальная площадь, состоит из двух ординат и заданных точек и отрезка оси заключенного между А и В. В самом деле, дифференциальные уравнения кривой суть

Из первого имеем Если не равно нулю, то получается цепкая линия. Если цепной линии нет, то это решение должно быть отброшено. В этом случае следует положить , и, следовательно,

Это показывает, что либо равно нулю, либо х постоянен. Таким образом, часть кривой, не совпадающая с осью состоит из прямых, к ней перпендикулярных.

2°. Пусть и по-прежнему рассматриваются точки и кривые, расположенные над плоскостью Все кривые С лежат в вертикальных плоскостях, причем в одной из них, а именно в плоскости они имеют дифференциальные уравнения

которые приводятся к одному уравнению. В первом уравнении заменим через и затем разделим в нем переменные. Получим

Это уравнение интегрируется сразу. Обозначая через а новую постоянную, найдем

т. е. уравнение окружности с центром на оси Следовательно, в пространстве кривые С суть окружности, перпендикулярные к плоскости . Через две точки А и В проходит, очевидно, одна и только одна из этих окружностей.

Геометрия, в которой эти окружности С играют ту же роль, что и прямые в обычной геометрии, и в которой сохранено элементарное понятие угла, а за длину дуги какой-нибудь кривой принимается интеграл распространенный на эту дугу, является неэвклидовой геометрией Лобачевского.