41. Вектор ускорения.

Понятие ускорения для простейших случаев введено Галилеем.

Пусть и — скорости движущейся точки в моменты и (рис. 33, а).

Рис. 33.

Проведем через М отрезок равный и параллельный и пусть — геометрическая разность векторов и т. е. вектор, который необходимо приложить к чтобы получить .

Если вдоль отложить длину равную то вектор даст среднее ускорение движущейся точки за промежуток времени М. Когда стремится к нулю, этот вектор стремится к пределу который называется ускорением движущейся точки в момент .

Ускорение есть, следовательно, полярный вектор, приложенный к движущейся точке.

Так как плоскость переходит в пределе в соприкасающуюся плоскость, то ускорение лежит в соприкасающейся плоскости.

Чтобы получить проекции ускорения на оси координат, заметим, что проекция скорости в момент на какую-нибудь ось, например на ось равна а скорость или вектор имеет в момент проекцию на ту же ось, равную Проекция вектора равная разности проекций векторов и будет, следовательно, . Поэтому проекции среднего ускорения равны

Полагая стремящимся к нулю, получим для проекций ускорения в момент значения:

Годограф. Понятие ускорения можно легко свести к понятию скорости. Проведем через произвольную фиксированную точку А вектор равный и параллельный скорости движущейся точки в момент (рис. 33, б). Когда изменяется, вектор также изменяется и его конец образует новую движущуюся точку, описывающую траекторию которая называется годографом. Скорость этой новой движущейся точки в каждый момент времени равна ускорению точки М. В самом деле, в момент точка занимает положение причем вектор равен и параллелен вектору или . Поэтому вектор равен и параллелен вектору или Средняя скорость точки за время есть вектор направленный по и равный

Эта средняя скорость равна, следовательно, и параллельна среднему ускорению точки М. Переходя к пределу, когда стремится к нулю, мы видим, что скорость точки в момент равна ускорению точки М в тот же момент времени.

Пусть, например,

где постоянные. Тогда траекторией будет парабола.

Проекции скорости будут

а проекции ускорения

Последние, как видно, постоянны. Следовательно, ускорение будет постоянным по величине и направлению. И, наоборот, если в каком-нибудь движении ускорение постоянно по величине и направлению, то это движение определяется уравнениями вида (1). Действительно, исходя из уравнений (3), последовательным интегрированием придем сначала к уравнениям (2), а затем к уравнениям (1). Такое движение будет подробно изучено дальше при рассмотрении движения тяжелого тела в пустоте.

Важно заметить, что если ускорение движения постоянно по величине и направлению, то и среднее ускорение за произвольный промежуток времени будет иметь ту же самую постоянную величину и. направление. Действительно, если уравнения (3) выполняются, то, ийтегрируя их, получаем уравнения (2), из которых для проекций среднего ускорения за время М получаем те же значения что и для проекций ускорения в момент

В этом примере годографом является прямая линия, движение по которой будет равномерным.