140. Определение постоянных.

1°. Концы закреплены. Уравнениз цепной линии содержит три постоянных , которые определяются из условий на концах. Согласно принятому ранее условию постоянная а должна быть положительная. Примем за начало О точку закрепления, расположенную более низко, и направим ось х таким образом, чтобы вторая точка закрепления Р находилась в квадранте между положительными координатными осями. Пусть — координаты этой точки, — длина нити (рис. 91). Напишем условия, выражающие, что кривая проходит через обе точки и

Чтобы получить третье уравнение, напишем, что нить должна иметь длину Имеем

и, интегрируя в пределах от 0 до а, получим длину нити:

Вычитая равенство (1) из равенства (2), мы исключим и получим

Уравнения (3) и (4) определяют а и Из них легко находим:

Для исключения достаточно почленно перемножить эти равенства. Тогда

Скобка равна квадрату величины ; следовательно,

Может показаться, что следует рассматривать два знака. Но согласно выбору осей величины а и а, и поэтому также должны быть положительными, вследствие чего надо брать только знак Положим Неизвестная а положительна и для нее уравнение имеет вид

Нам нужно найти положительные решения этого уравнения. Заменяя его правую часть разложением в ряд, получим

Здесь правая часть монотонно возрастает от 1 до бесконечности, когда и возрастает от 0 до бесконечности. Вследствие этого для того, чтобы существовал положительный корень, необходимо и достаточно, чтобы левая часть была больше 1. В этом случае уравнение будет иметь один и только один положительный корень. Следовательно, единственным условием возможности задачи будет

т. е. длина нити должна быть больше расстояния между точками подвеса. Если это условие выполнено, то можно будет определить и и, проследив за всем ходом вычислений, можно легко убедиться, что для трех постоянных будет получаться одна-единственная система значений. Следовательно, в этом случае существует одно и только одно положение равновесия.

Рис. 92.

Пусть — положительный корень уравнения для и. Это уравнение имеет также отрицательный корень Пуансо интерпретирует это решение следующим образом: перевернутая цепная линия, для которой является фигурой равновесия особого свода, образованного равными бесконечно малыми, идеально отполированными твердыми шариками.

2°. Концы скользят по двум прямым. Допустим, что однородная тяжелая цепочка имеет длину и что ее концы А и В скользят без трения по двум данным прямым и расположенным в одной вертикальной плоскости (рис. 92). Требуется определить постоянные а таким образом, чтобы цепная линия пересекала обе прямые линии под прямым углом и чтобы ее между этими линиями имела заданную длину

Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, мы дадим здесь геометрическое решение задачи. Мы будем основываться на том, что цепные линии, имеющие параллельные основания, подобны, и что, наоборот, фигура, подобная цепной линии с горизонтальным основанием, является другой цепной линией, расположенной таким же образом. Вообразим вспомогательную цепную линию С с горизонтальным основанием и проведем к ней две нормали параллельные заданным прямым и что всегда возможно и притом единственным образом, так

как при изменении х от до угловой коэффициент касательной к цепной линии принимает один и только один раз любое заданное значение. Дуга будет иметь некоторую длину V. Перенося угол вместе с дугой в угол Р, получим дугу цепной линии АВ длины , нормальную к обеим заданным прямым и имеющую горизонтальное основание. Искомая дуга будет тогда подобна дуге относительно точки Р, так как касательные к обеим дугам в точках А и а также в точках В и В" параллельны. Отношение подобия равно Следовательно, достаточно поставить в соответствие каждой точке М дуги точку М таким образом, чтобы и точка опишет искомую дугу. Решение будет, следовательно, единственным. Более того, мы видим, что если при таких же условиях на двух прямых расположить несколько цепных линий различной длины, находящихся в равновесии, то они все будут подобны относительно точки Р.