Главная > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

140. Определение постоянных.

1°. Концы закреплены. Уравнениз цепной линии содержит три постоянных , которые определяются из условий на концах. Согласно принятому ранее условию постоянная а должна быть положительная. Примем за начало О точку закрепления, расположенную более низко, и направим ось х таким образом, чтобы вторая точка закрепления Р находилась в квадранте между положительными координатными осями. Пусть — координаты этой точки, — длина нити (рис. 91). Напишем условия, выражающие, что кривая проходит через обе точки и

Чтобы получить третье уравнение, напишем, что нить должна иметь длину Имеем

и, интегрируя в пределах от 0 до а, получим длину нити:

Вычитая равенство (1) из равенства (2), мы исключим и получим

Уравнения (3) и (4) определяют а и Из них легко находим:

Для исключения достаточно почленно перемножить эти равенства. Тогда

Скобка равна квадрату величины ; следовательно,

Может показаться, что следует рассматривать два знака. Но согласно выбору осей величины а и а, и поэтому также должны быть положительными, вследствие чего надо брать только знак Положим Неизвестная а положительна и для нее уравнение имеет вид

Нам нужно найти положительные решения этого уравнения. Заменяя его правую часть разложением в ряд, получим

Здесь правая часть монотонно возрастает от 1 до бесконечности, когда и возрастает от 0 до бесконечности. Вследствие этого для того, чтобы существовал положительный корень, необходимо и достаточно, чтобы левая часть была больше 1. В этом случае уравнение будет иметь один и только один положительный корень. Следовательно, единственным условием возможности задачи будет

т. е. длина нити должна быть больше расстояния между точками подвеса. Если это условие выполнено, то можно будет определить и и, проследив за всем ходом вычислений, можно легко убедиться, что для трех постоянных будет получаться одна-единственная система значений. Следовательно, в этом случае существует одно и только одно положение равновесия.

Рис. 92.

Пусть — положительный корень уравнения для и. Это уравнение имеет также отрицательный корень Пуансо интерпретирует это решение следующим образом: перевернутая цепная линия, для которой является фигурой равновесия особого свода, образованного равными бесконечно малыми, идеально отполированными твердыми шариками.

2°. Концы скользят по двум прямым. Допустим, что однородная тяжелая цепочка имеет длину и что ее концы А и В скользят без трения по двум данным прямым и расположенным в одной вертикальной плоскости (рис. 92). Требуется определить постоянные а таким образом, чтобы цепная линия пересекала обе прямые линии под прямым углом и чтобы ее между этими линиями имела заданную длину

Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, мы дадим здесь геометрическое решение задачи. Мы будем основываться на том, что цепные линии, имеющие параллельные основания, подобны, и что, наоборот, фигура, подобная цепной линии с горизонтальным основанием, является другой цепной линией, расположенной таким же образом. Вообразим вспомогательную цепную линию С с горизонтальным основанием и проведем к ней две нормали параллельные заданным прямым и что всегда возможно и притом единственным образом, так

как при изменении х от до угловой коэффициент касательной к цепной линии принимает один и только один раз любое заданное значение. Дуга будет иметь некоторую длину V. Перенося угол вместе с дугой в угол Р, получим дугу цепной линии АВ длины , нормальную к обеим заданным прямым и имеющую горизонтальное основание. Искомая дуга будет тогда подобна дуге относительно точки Р, так как касательные к обеим дугам в точках А и а также в точках В и В" параллельны. Отношение подобия равно Следовательно, достаточно поставить в соответствие каждой точке М дуги точку М таким образом, чтобы и точка опишет искомую дугу. Решение будет, следовательно, единственным. Более того, мы видим, что если при таких же условиях на двух прямых расположить несколько цепных линий различной длины, находящихся в равновесии, то они все будут подобны относительно точки Р.

1
Оглавление
email@scask.ru