240. Элементы эллиптического движения.
Эллиптическое движение планеты определяется в пространстве шестью постоянными. Проведем через центр S Солнца (рис. 152) три оси 
с неизменными направлениями. В настоящее время обычно принимают за плоскость 
плоскость эклиптики на 1 января 1850 г., за положительные оси 
— прямые, направленные в точку весеннего равноденствия и в точку летнего солнцестояния той же эпохи, и за положительную ось 
направление на северный полюс эклиптики.
Рис. 152.
Плоскость орбиты планеты пересекает плоскость 
по линии 
которая называется линией узлов. Точка 
пересечения орбиты с плоскостью эклиптики является восходящим узлом.
Это — точка, которую пересекает планета, когда ее координата 
переходит от отрицательных значений к положительным. Другой узел 
является нисходящим. Для определения плоскости орбиты задают угол 
который считается положительным от 
и называется долготой восходящего узла, и угол наклонения 
между плоскостью орбиты и плоскостью эклиптики; этот угол 
измеряется углом между перпендикулярами в точке 
к прямой 
из которых один лежит в плоскости эклиптики и направлен в сторону движения Земли, т. е. от 
а другой лежит в плоскости орбиты и направлен в сторону движения планеты (или кометы). После того как плоскость орбиты установлена, надо определить положение и размеры эллипса. Пусть А — перигелий; обозначим через 
сумму углов 
и 
причем последний угол отсчитывается от 
в сторону движения; угол 
называется долготой перигелия. Угол 
равен 
Этот угол определяет положение эллипса; для определения размеров этого эллипса задают его большую полуось а и его эксцентриситет е. Наконец, для указания закона, по которому планета описывает свою орбиту, задают период обращения Т или среднее движение 
и момент 
прохождения через перигелий. Заметим, что 
не независимые величины, так как они связаны установленным ранее соотношением (п. 236):
где М — масса Солнца, 
масса планеты. Итак, для определения движения планеты или периодической кометы необходимо знать шесть
постоянных 
которые называются шестью элементами эллиптического движения. Вместо 
часто вводят элемент 
определяемый формулой
и называемый средней долготой в нулевую эпоху. Тогда прямоугольные координаты 
планеты определяются в функции 
и шести эллиптических элементов формулами вида
которые нам нет надобности здесь приводить.
241. Метод вариации постоянных.
Если бы солнечная система состояла из Солнца и только одной планеты, то шесть элементов эллиптического движения сохраняли бы в течение неопределенного времени свои значения. Но, как мы видели, эллиптическое движение является лишь первым приближением для движения планеты. Действие других планет на рассматриваемую планету сказывается в возмущении этого эллиптического движения. Для представления возмущенного движения, которое является действительным движением планеты и которое несколько отличается от эллиптического движения, сохраняют формулы 
рассматривая в них шесть элементов 
в не как постоянные, но как функции от 
С течением времени под действием других планет эти элементы будут поручать приращения 
, которые называются возмущениями элементов и которые вызовут соответствующие возмущения координат 
Раздел небесной механики, посвященный вычислению этих приращений, называется теорией возмущений.
Рис. 153.
242. Параболическое движение комет.
Представим себе комету М, описывающую параболу, фокус которой находится в центре Солнца, что имеет место для огромного большинства комет. Обозначая через 
угол, образованный радиусом-вектором 
с радиусом-вектором 
перигелия (рис. 153), напишем:
На основании интеграла площадей имеем
где 
масса кометы, 
масса Солнца. Действительно, из рассмотренной нами задачи двух тел вытекает, что комета движется вокруг Солнца так, как если бы Солнце было неподвижно, а сила, с которой оно притягивает комету, равнялась
Постоянная площадей будет тогда 
Следовательно,
откуда, интегрируя и обозначая через 
момент прохождения через перигелий, найдем
Таково уравнение третьей степени относительно 
которое необходимо решить, чтобы найти положение планеты в момент 
Уравнение имеет только один вещественный корень. Полагая в этом уравнении 
и замечая, что 
можно заменить через 
так как массой 
кометы можно вполне пренебречь по сравнению с массой Солнца, мы можем представить уравнение в виде
Существуют численные таблицы корней этого уравнения для ряда значений левой части, причем масса М Солнца принята равной 1.
243. Параболические элементы.
Для определения параболической орбиты кометы задают пять независимых элементов 
и 
из которых первые четыре имеют те же значения, что и для планет, 
обозначает расстояние перигелия (см. «Небесную механику» Тиссерана).
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
