Например, в прямоугольных декартовых координатах достаточно знать полный интеграл уравнения
Точно так же, чтобы найти на неподвижной поверхности кривые, соединяющие две точки А и В и обращающие в минимум интеграл 
достаточно иметь полный интеграл 
уравнения Якоби (8) относительно 
в котором нужно заменить 
величиной 
Получится уравнение
Искомые кривые будут тогда иметь уравнение — а, и интеграл (10) вдоль одной из этих кривых равен 
Но мы видели, что к нахождению кривых, обращающих в минимум интеграл вида (10), можно свести три следующие задачи:
1) определение фигуры равновесия нити, свободной или лежащей на поверхности, когда действуют силы, имеющие силовую функцию (п. 146);
2) общую задачу рефракции (п. 150);
3) определение брахистохрон для точки, свободной или движущейся по поверхности, когда существует силовая функция (пп. 255 и 257).
Эти задачи могут быть, следовательно, приведены к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными вида 
или (12). Значение интеграла (10) вдоль одной из этих кривых, идущих от А к В, есть 
В частном случае брахистохрон значение этого интеграла определяет время, затрачиваемое точкой для пробега дуги АВ брахистохроны. (См. Клебш, Journal de Crelle, т. 57, стр. 93; Аппель, Comptes rendus, 12 марта 1883 и Annales de la Faculte de Toulouse, 1887; Андуайе, Comptes rendus, m. C, стр. 1577; Марколонго, Rendiconti della R. Accademia delle Scienze di Napoli, июль, 1888.)
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
величиной 
где 
— функция координат, то увидим, что результаты, полученные для свободной точки, могут быть выражены следующим образом. Кривые, соединяющие две точки А и В и обращающие в минимум интеграл
уравнения Якоби (3) относительно 
в котором 
заменено величиной 
причем постоянные 
вычисляются, как и раньше, при помощи уравнений (6).
