179. Приложение принципа возможных скоростей к равновесию нитей.

Пусть — элемент нити и — проекции равнодействующей приложенных к нему внешних сил. Для возможного перемещения, сообщенного элементу работа этой силы равна

где должны рассматриваться как функции дуги так как каждый элемент нити получает перемещение, изменяющееся с его положением на нити. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ

была равна нулю для всех перемещений, допускаемых связями. Допустим для определенности, что нить закреплена обоими концами; тогда обращаются в нуль на обоих пределах интеграла. Так как, кроме того, нить нерастяжима, то

откуда, выражая, что вариация левой части равна нулю и замечая, что вариация производном равна производной от вариации, например, получим

Это условие показывает, что в качестве можно принять произвольные функции от обращающиеся в нуль на пределах определяется из соотношения (2):

Отсюда, интегрируя и замечая, что обращается в нуль вместе с получим

Но необходимо, чтобы обращалось в нуль и на втором конце, где следовательно, должны удовлетворять условию

Необходимо теперь выразить, что обращается в нуль. для любых функций обращающихся в нуль на пределах и удовлетворяющих соотношениям (2) и (3). Обозначим через X пока произвольную функцию дуги и через — постоянную. Имеем

Интегрируя последние члены по частям и полагая мы можем иаписать

так как проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах.

Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы это выражение было равно нулю, каковы бы ни были функции и X от . Распорядимся функцией I так, чтобы обратить в нуль коэффициент при Тогда оставшееся выражение должно обращаться в нуль, каковы бы ни были функции в промежутке для этого необходимо, чтобы

коэффициенты при и были также равны нулю. (Это рассуждение аналогично рассуждениям в п. 177). Таким образом получаем уравнения равновгсия

совпадающие с теми, которые были установлены непосредственно.

Частный случай. Допустим, что X, Y, Z являются частными производными функции по

Тогда

и, следовательно, для получения положения равновесия нужно искать координаты в функции величины обращающие в максимум или минимум интеграл

при условии (1). Например, для неоднородной тяжелой нити вес элемента лмеет вид направив ось вертикально вверх, имеем

и положение равновесия обращает в максимум или минимум интеграл

т. е. высоту центра тяжести.

В общем случае, для определения натяжения имеем уравнение

которое при рассматриваемом предположении обращается в

Но при увеличении на имеем

откуда

Следовательно, если не зависит от то получаем

как мы это видели и ранее . В этом частном случае, когда не зависит от только что изложенная теория позволяет непосредственно установить результаты, уже полученные в параграфе III, главы VII; таким образом, эти результаты оказываются связанными с принципом возможных скоростей.