откуда, выражая, что вариация левой части равна нулю и замечая, что вариация производном равна производной от вариации, например, 
получим
Это условие показывает, что в качестве 
можно принять произвольные функции от 
обращающиеся в нуль на пределах 
определяется из соотношения (2):
Отсюда, интегрируя и замечая, что 
обращается в нуль вместе с 
получим
Но необходимо, чтобы 
обращалось в нуль и на втором конце, где 
следовательно, 
должны удовлетворять условию
Необходимо теперь выразить, что 
обращается в нуль. для любых функций 
обращающихся в нуль на пределах и удовлетворяющих соотношениям (2) и (3). Обозначим через X пока произвольную функцию дуги 
и через 
— постоянную. Имеем
Интегрируя последние члены по частям и полагая 
мы можем иаписать
так как проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах.
Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы это выражение 
было равно нулю, каковы бы ни были функции 
и X от 
. Распорядимся функцией I так, чтобы обратить в нуль коэффициент при 
Тогда оставшееся выражение должно обращаться в нуль, каковы бы ни были функции 
в промежутке 
для этого необходимо, чтобы
коэффициенты при и 
были также равны нулю. (Это рассуждение аналогично рассуждениям в п. 177). Таким образом получаем уравнения равновгсия
совпадающие с теми, которые были установлены непосредственно.
Частный случай. Допустим, что X, Y, Z являются частными производными функции 
по 
Тогда
и, следовательно, для получения положения равновесия нужно искать координаты 
в функции величины 
обращающие в максимум или минимум интеграл
при условии (1). Например, для неоднородной тяжелой нити вес элемента 
лмеет вид 
направив ось 
вертикально вверх, имеем
и положение равновесия обращает в максимум или минимум интеграл
т. е. высоту центра тяжести.
В общем случае, для определения натяжения имеем уравнение
которое при рассматриваемом предположении обращается в
Но при увеличении 
на 
имеем
откуда
Следовательно, если 
не зависит от 
то получаем
как мы это видели и ранее 
. В этом частном случае, когда 
не зависит от 
только что изложенная теория позволяет непосредственно установить результаты, уже полученные в параграфе III, главы VII; таким образом, эти результаты оказываются связанными с принципом возможных скоростей.
— элемент нити и 
— проекции равнодействующей приложенных к нему внешних сил. Для возможного перемещения, сообщенного элементу 
работа этой силы равна
должны рассматриваться как функции дуги 
так как каждый элемент нити получает перемещение, изменяющееся с его положением на нити. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ
обращаются в нуль на обоих пределах интеграла. Так как, кроме того, нить нерастяжима, то
