213. Прямолинейное таутохронное движение.
Говорят, что прямолинейное движение является таутохронным, если точка, начинающая движение без начальной скорости и находящаяся под действием заданных сил, затратит одно и то же время для достижения определенного конечного положения, каково бы ни было ее положение в начальный момент.
1°. Равнодействующая сил зависит только от положения точки (метод Пюизб). Примем точку прибытия или точку таутохронизма за начало О. Пусть 
- равнодействующая приложенных
к точке сил, 
абсцисса начального положения, которую мы предполагаем положительной. По теореме кинетической энергии имеем
По предположению, X является функцией от 
, очевидно, отрицательной, так как точка должна двигаться к началу О, каково бы ни было ее начальное положение, для чего сила должна быть везде направленной к О. Положим для краткости
где 
— положительная функция, возрастающая вместе с х и обращающаяся в нуль при 
. Уравнение примет вид
Отсюда для определения времени Т, необходимого точке для достижения положения О, можно вывести формулу
Положим
где 
- функция, обратная 
Получим
Для того чтобы движение было таутохронным, необходимо и достаточно, чтобы Т не зависело от 0, т. е. от 
Чтобы выразить это, напишем, что производная от Т по параметру 
равна нулю. Чтобы избавиться от бесконечных членов в выражении этой производной, сделаем пределы не зависящими от 
положив 
Тогда
или, возвращаясь к переменной 
Это выражение должно быть равно нулю, каково бы ни было 
для чего подынтегральная функция должна тождественно обращаться в нуль. В противном случае можно будет выбрать 
настолько малым, чтобы в пределах от 0 до 
эта функция имела постоянный знак и тогда интеграл не будет равен нулю. Следовательно, функция 
должна удовлетворять дифференциальному уравнению
из которого получим
Так как 
обращается в нуль вместе с 
ибо переменные 
и х обращаются в нуль одновременно, то 
Из уравнения 
получим, наконец,
откуда видно, что 
Следовательно, единственной зависящей только от х силой, вызывающей прямолинейное таутохронное движение, является притяжение, пропорциональное расстоянию. Это движение было рассмотрено выше 
2°. Равнодействующая сил зависит от положения и скорости точки. Мы ограничимся для этого случая лишь некоторыми библиографическими ссылками. Лагранж указал (Memoires de Berlin, 1765 и 1770) общий закон силы, при которой таутохронизм будет обязательно иметь место и который как частный случай содержит предыдущий закон. Но, как заметил Бертран, формула Лагранжа не дает всех законов для силы, при которых движение будет таутохронным.
Отметим также статью Бриошй, содержащую формулу, более общую, чем формула Лагранжа 
. (См. упражнение 5 и 6.)
