203. Теорема о моменте количества движения. Закон площадей.
Из уравнений движения можно вывести теорему, аналогичную предыдущей, для момента количества движения. Два уравнения
путем преобразований приводятся к одному
которое можно написать так:
т. е. производная по времена от момента количества движения относительно какой-нибудь оси (оси Oz) равна моменту равнодействующей всех сил, приложенных к точке, относительно той же оси.
Рис. 129.
Из этой теоремы получается первый интеграл уравнений движения в случае, когда 
т. е. когда равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, находится все время в одной плоскости с осью 
Этот интеграл будет 
Он имеет очень простую геометрическую интерпретацию, а именно: пусть (рис. 129) Р — проекция движущейся точки М на плоскость 
— начальное положение этой проекции. Рассмотрим сектор, ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами 
и 
Обозначая через 
площадь этого сектора, отсчитываемую в направлении положительного вращения вокруг оси 
имеем
Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид
откуда, интегрируя, находим
Другими словами, площадь S пропорциональна времена, в течение которого она была описана. В этом случае говорят, что для проекции движения на плоскость 
справедлива теорема площадей.
Постоянная площадей С, входящая в предыдущую формулу, равна отношению удвоенной площади, описанной радиусом-вектором 
к затраченному на это времени. Она определяется начальными условиями, а именно: она равна значению, принимаемому в начале движения величиной 
т. е. моменту начальной скорости относительно оси 
Наоборот, если теорема площадей применима к проекции движения на плоскость 
относительно точки О, то сила находится в одной плоскости с осью 
так как уравнение 
после дифференцирования принимает вид
откуда
Пример. Центральные силы. Допустим, что равнодействующая 
сил, приложенных к точке, является центральной, т. е. ее направление все время проходит через неподвижную точку О. Если эту точку принять за начало, то момент 
относительно каждой из трех координатных осей будет равен нулю и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, проходящей через центр сил. В самом деле, имеем три уравнения:
Умножая их на x, у, z и складывая, найдем
т. е. уравнение плоскости, проходящей через точку О. Эта плоскость определяется начальной скоростью и точкой О.
