221. Движение наэлектризованной частицы в наложенных друг на друга электрическом и магнитном полях.
Рассмотрим материальную частицу М массы 
имеющую заряд 
и движущуюся в пространстве со скоростью V.
Представим себе сначала неподвижные электрические заряды на неподвижных телах, создающие электрическое поле, в котором электрическая сила, действующая на электрический заряд 
помещенный в точке 
, имеет проекции 
определяемые формулами
где V — потенциал электрического поля. Тогда сила, действующая на массу 
несущую заряд 
будет иметь проекции 
Рис. 142.
Допустим, что, кроме того, имеется магнитное поле, в котором составляющие вектора напряженности поля Н равны 
(направление Н считается совпадающим с направлением силы, действующей на положительный полюс магнита). Тогда сила 
с которой это поле действует на движущуюся частицу, определяется следующим законом: пусть 
— координаты частицы 
- проекции ее скорости V, с — скорость света; сила 
перпендикулярна к плоскости векторов Н и 
и равна 
Если заряд 
положительный, то сила 
направлена в сторону, откуда кратчайшее совмещение вектора 
видно против хода часовой стрелки (рис. 142); следовательно,
Если оси координат расположены обычным образом, то проекции силы 
будут
и две аналогичные формулы получатся круговой перестановкой букв. Следовательно, уравнения движения частицы будут
Если электрическое и магнитное поля произвольны, то об интегрировании этих уравнений сказать ничего нельзя, за исключением того, что непосредственно следует из теоремы кинетической энергии. Эта теорема дает
так как работа силы 
равна, очевидно, нулю. Следовательно, имеется
первый интеграл
где 
- потенциал электрического поля. В частном случае, если электрическое поле равно нулю, то скорость постоянна:
Тогда можно исключить время, вводя дугу траектории 
соотношением
Первый частный случай. Электрическое поле равно нулю, магнитное поле создается единственным магнитным полюсом, помещенным в начале О.
При этих условиях сила магнитного поля 
имеет силовую функцию вида 
где 
— расстояние 
Тогда уравнения движения, если в них положить
будут
Прежде всего очевидно, что траектория С является геодезической линией конуса с вершиной в точке О и направляющей С. Действительно, так как скорость постоянна, то сила 
направлена по главной нормали к С и, с другой стороны, сила 
в точке М перпендикулярна образующей 
и скорости 
, т. е. нормальна к рассматриваемому конусу. Но при помощи анализа, принадлежащего Дарбу (примечание VII к т. I «Механики» Депейру), можно показать, что этот конус будет круговым. Из уравнений (2), если сделать над ними преобразования, приводящие к теореме моментов относительно оси 
получим
Следовательно, интегрируя, получим
и точно так же
где А, В, С — постоянные. Если эти уравнения умножить соответственно на 
и сложить, то получится
т. е. уравнение конуса, на котором лежит траектория. Это — конус вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Р, имеющей уравнение
так как уравнение (3) показывает, что конус является геометрическим местом точек, для которых отношение расстояний до точки О к расстояниям до плоскости Р, проходящей через точку О, постоянно.
Итак, траектория является геодезической линией кругового конуса с вершиной в точке О. Этот результат, отмеченный Пуанкаре, объясняет интересное явление затягивания катодных лучей магнитным полюсом, открытое в 1895 г. Биркеляндом (Archives des Sciences physiques et naturelles, т. VI, 1898, стр. 205).
Второй частный случай. Постоянные электрическое и магнитное поля. Интегрирование выполняется легко, когда оба поля постоянны. Возьмем оси так, чтобы ось 
была параллельна силе 
магнитного поля и чтобы плоскость 
содержала постоянную силу 
электрического поля.
Тогда 
будут равны нулю и общие уравнения движения (1) принимают вид:
где коэффициенты постоянны. Возьмем за начало координат начальное положение движущейся точки в момент 
Обозначая через 
постоянные 
получим после первого интегрирования:
где 
— постоянные интегрирования, равные проекциям начальной скорости на оси. Далее исключение у приводит к линейному уравнению 
в котором за неизвестную можно принять величину 
и из которого получается
где А и а — новые постоянные. После этого из первого уравнения (5) имеем
Постоянные А и а таковы, что х и у обращаются в нуль при 
Интегрируя третье из уравнений (5), получим
Таким образом мы получили уравнения движения в конечной форме.
Движение можно рассматривать как составленное из равномерного кругового движения и параболического движения с постоянным ускорением, параллельным оси 
. В самом деле, если положить
то можно написать
Точка 
с координатами 
совершает параболическое движение в плоскости, параллельной плоскости 
с постоянным ускорением, равным 
и параллельным оси 
Точка 
с координатами 
описывает в плоскости 
окружность 
радиуса А с центром в точке О, с угловой скоростью 
. Положение точки к моменту времени 
может быть получено путем построения результирующей векторов 
, т. е. путем проведения через точку 
вектора 
равного и параллельного вектору 
(рис. 143).
Рис. 143.
Движение точки М можно тогда представить следующим образом: круг С постоянного радиуса А с центром в точке 
параллельный плоскости 
совершает поступательное параболическое движение с постоянным ускорением, а точка М равномерно описывает окружность этого круга по тому же закону, по которому точка 
описывает окружность 
Изменяя постоянные 
или 
мы иолучим частные случаи, приводящие к изящным результатам. Если 
, т. е. если электрическое поле перпендикулярно магнитному, то 
и точка 
совершает прямолинейное равномерное движение. Получающаяся в общем случае парабола заменяется сейчас прямой и в зависимости от начальных условий можно в частных случаях получить в качестве траектории винтовую линию, циклоиду и т. д.
Третий частный случай. Исследования Штёрмера о полярных сияниях. На основании идей, высказанных в 1896 г. Биркеляндом и в 1900 г. Аррениусом, некоторые физики пришли к мысли, что полярные сияния а соответствующие магнитные возмущения вызываются электрическими частицами (катодными или сходными с ними лучами), приходящими из пространства и движущимися по траекториям, определяемым действием земного магнетизма.
Задача вычисления зтнх траекторий упрощается, если предположить, что частицы очень далеки от Земли, примерно на расстоянии более миллиона километров. Тогда можно рассматривать магнитное поле Земли как образованное одним элементарным магнитом, помещенным в центре Земли, ось которого совпадает с земной осью. Именно при таких упрощающих предположениях задача рассматривалась Карлом штёрмером в статье, помещенной в Archives des Sciences physiques et naturelles de QenSve, т. XXIV, 1907. Штёрмеру удалось получить важные результаты без интегрирования уравнений задачи. Ему, в частности, удалось объяснить некоторые существенные моменты опытов Биркелянда и более новых опытов Вилляра. Недостаток места не позволяет нам изложить здесь эту теорию, требующую длинных вычислений.
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
